2024-2025学年北师大版八年级下册数学期末考试押题卷（1）

试卷更新日期：2025-06-08 类型：期末考试

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 下列扑克牌中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）

A、 $- 18 x^{4} y^{3} = - 6 x^{2} y^{2} \cdot 3 x^{2} y$ B、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 4$ C、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$ D、 $a^{2} - 8 a + 16 = (a - 4)^{2}$

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3. 用反证法证明 “若实数 $a ， b$ 满足 $a b = 0$ ，则 $a ， b$ 中至少有一个是 0 ”时，应先假设（）

A、 $a ， b$ 中至多有一个是 0 B、 $a ， b$ 中至少有两个是 0 C、 $a ， b$ 都不等于 0 D、 $a ， b$ 都等于 0

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4. 如图， $D E$ 是三角形 $A B C$ 的中位线，且 $∠ A F B = 90 °$ ，若 $A B = 7$ ， $B C = 11$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{3 - 2 x}{x - 3} + \frac{9 - m x}{3 - x} = - 1$ 无解，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、4 C、1或3 D、1或4

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6. 如图，直线y=-2x+2与直线y=kx+b(k、b为常数，k≠0)相交于点A(-1，m)，则关于×的不等式-2x+2<kx+b的解集为（）

A、x>-1 B、x<-1 C、x≦-1 D、x≧-1

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7. 淇淇用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正边形图案，那么的值为

A、7 B、8 C、9 D、10

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8. 如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE=CE；②S_{平行四边形ABCD}=AB×AC；③S_△ABC=2S_△ACE；④OE= $\frac{1}{4}$ BC，成立的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每题3分，共18分）

9. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $|x - 3| + \sqrt{y - 7} = 0$ ，则以 $x$ ， $y$ 的值为两边长的等腰三角形的周长是．

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10. 若分式 $\frac{|x| - 4}{x - 4}$ 的值为0，则 $x$ 的值为．

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11. 如果一元一次不等式组 ${\begin{cases} x > 2 \\ x > a \end{cases}$ 的解集为 $x > 2$ ，那么a的取值范围是．

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12. 如图，▱ABCD中， $B D$ 为对角线，分别以点A、B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点M、N ，作直线 $M N$ 交 $A D$ 于点E ，交 $A B$ 于点F ，若AD⊥BD，BD=4，BC=8，则 $A E$ 的长为．

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13. 实数 $a, b, c$ 满足 $a = 2 b + \sqrt{2}$ ，且 $a b + c^{2} + 2 c + \frac{5}{4} = 0$ 则 $\frac{b c}{a} =$ ．

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14. 如图，O是平面直角坐标系原点，AB∥OC，AO⊥OC，AB=1，OC=4，P为线段AO上一个动点，连结PB并延长至点E，使得点E落在直线x=2上，以PE，PC为邻边作平行四边形PEFC，则对角线PF的最小值为.

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三、作图题（共4分）

15. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．

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四、解答题（共9题，共74分）

16. 解不等式组，并在数轴上把解集表示出来，并求（2）的整数解．

(1)、 $\{\begin{cases} x - 1 > 3 (x - 3) \\ x \geq \frac{x + 5}{2} \end{cases}$ ；

(2)、 $\{\begin{matrix} 3 x - 1 \geq 2 (x - 2) \\ \frac{5 x + 1}{6} ＜ \frac{x - 5}{4} \end{matrix}$ ．

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17. 因式分解：

(1)、 $3 a^{2} - 6 a b + 3 b^{2}$ ；

(2)、 $m^{2} (m + n) - (m + n)$ ．

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18. 先化简，再求值： $(\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - 2 a b + b^{2}} + \frac{a}{b - a}) \div \frac{b^{2}}{a^{2} - a b}$ ，其中 $a ， b$ 满足 $\sqrt{a + 1} + | b - \sqrt{3} | = 0$ .

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，D为 $A C$ 边上一点， $A D = B D ， A E ⊥ B D$ ，交 $B D$ 的延长线于点E， $D F ⊥ B C$ ，垂足为F，且 $A E = D F$ ．

(1)、求证： $C B = C D$ ；

(2)、若点D是 $A C$ 的中点，求 $∠ C$ 的度数．

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20. “人间烟火气，最抚凡人心．”在这喧嚣的世界里，地摊的存在，让人们感受到了那份朴实无华的温暖，也让城市多了一份生活的温度，某个体户购买了腊梅，百合两种鲜花摆摊销售，若购进腊梅5束，百合3束，需要114元；若购进腊梅8束，百合6束，需要204元．

(1)、求腊梅，百合两种鲜花的进价分别是每束多少元？

(2)、若每束腊梅的售价为20元，每束百合的售价为30元．结合市场需求，该个体户决定购进两种鲜花共80束，计划购买成本不超过1260元，且购进百合的数量不少于腊梅数量的 $\frac{2}{3}$ ，两种鲜花全部销售完时，求销售的最大利润及相应的进货方案．

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21. 阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 分解因式呢？我们已经知道： $(a_{1} x + c_{1}) (a_{2} x + c_{2})$ $= a_{1} a_{2} x^{2} + a_{1} c_{2} x + a_{2} c_{1} x + c_{1} c_{2}$ $= a_{1} a_{2} x^{2} + (a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}) x + c_{1} c_{2}$ .
反过来，就得到： $a_{1} a_{2} x^{2} + (a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}) x + c_{1} c_{2} = (a_{1} x + c_{1}) (a_{2} x + c_{2})$ ．
我们发现，二次三项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的二次项的系数 $a$ 分解成 $a_{1} a_{2}$ ，常数项 $c$ 分解成 $c_{1} c_{2}$ ，并且把 $a_{1}$ ， $a_{2}, c_{1}, c_{2}$ ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到 $a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}$ ，如果 $a_{1} c_{2} + a_{2} c_{1}$ 的值正好等于 $a x^{2} + b x + c$ 的一次项系数 $b$ ，那么 $a x^{2} + b x + c$ 就可以分解为 $(a_{1} x + c_{1}) (a_{2} x + c_{2})$ ，其中 $a_{1}, c_{1}$ 位于图的上一行， $a_{2}, c_{2}$ 位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子 $x^{2} - x - 6$ 分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即 $1 = 1 \times$ 1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即 $- 6 = 2 \times (- 3)$ ；然后把 $1, 1, 2, - 3$ 按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到 $1 \times (- 3) + 1 \times 2 = - 1$ ，恰好等于一次项的系数-1，于是 $x^{2} - x - 6$ 就可以分解为 $(x + 2) (x - 3)$ ．

(1)、请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式： $x^{2} + x - 6 =$     ▲         ．

(2)、理解与应用
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① $2 x^{2} - 5 x - 7 =$     ▲        ；
② $12 x^{2} - 11 x y + 2 y^{2} =$     ▲         ．

(3)、探究与拓展
对于形如 $a x^{2} + b x y + c y^{2} + d x + e y + f$ 的关于x ， y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将 $a$ 分解成mn乘积作为一列， $c$ 分解成pq乘积作为第二列， $f$ 分解成jk乘积作为第三列，如果 $m q + n p = b, p k + q j = e, m k + n j = d$ ，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式 $= (m x + p y + j) (n x + q y + k)$ ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
①分解因式 $3 x^{2} + x y - 2 y^{2} - 5 x + 5 y - 2 =$     ▲         ．
②若关于x ， y的二元二次式 $x^{2} + 7 x y - 18 y^{2} - 5 x + m y - 36$ 可以分解成两个一次因式的积，求 $m$ 的值．

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22. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．

(1)、山地C距离公路的垂直距离为多少米？

(2)、在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．

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23. 平移、旋转、翻折是几何图形的最基本的三种图形变换，利用图形变换可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．

(1)、探究发现：如图1，P是等边 $△ A B C$ 内一点， $P A = 3 ， P B = 4 ， P C = 5$ ．求 $∠ A P B$ 的度数．
解：将 $△ A P C$ 绕点A旋转到 $△ A P^{'} B$ 的位置，连接 $P P^{'}$ ，则 $△ A P P^{'}$ 是       三角形．
∵ $P P^{'} = P A = 3 ， P B = 4 ， P^{'} B = P C = 5$ ，
∴ $P^{'} P^{2} + P B^{2} = P^{'} B^{2}$
∴ $△ B P P^{'}$ 为       三角形．
∴ $∠ A P B$ 的度数为        ．

(2)、类比延伸：如图2，在正方形 $A B C D$ 内部有一点P．连接 $P A 、 P B 、 P C$ ，若 $P A = 2 ， P B = 4 ， ∠ A P B = 135 °$ ，求 $P C$ 的长；

(3)、拓展迁移：如图3，若点P是正方形 $A B C D$ 外一点 $P A = 3 ， P B = 1 ， P C = \sqrt{11}$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．

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24. （1）如图1，已知： $△ A B C$ 和 $△ E C D$ 是等边三角形，点 $B 、 C 、 D$ 在同一直线上，连接 $B E$ ，和边 $A C$ 交于点 $G$ ，连接 $A D$ ，和 $B E$ 交于点 $F$ ．求证： $△ A C D ≌ △ B C E$ ．
（2）在（1）的条件下，如图2，将 $△ E C D$ 绕点 $C$ 顺时针旋转一定的角度 $α (0 ° < α < 60 °)$ ，连接 $C F$ ．
① $∠ A F B =$ ________°；
②猜想线段 $C F, A F$ 和 $B F$ 的数量关系，并证明．（如果证明需要用到①的结论，可以直接使用，无需再次证明）
（3）如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，过 $△ A B C$ 外一点 $D$ ，作 $∠ A D B = ∠ A C B$ ， $B D$ 和边 $A C$ 交于 $F$ ，连接 $C D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B F$ 于 $E$ ，若 $C D = 3, B D = 9$ ， $A D = 7$ ，请直接写出 $S_{△ A B F} - S_{△ C D F}$ 的值．

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