正方形中的十字架模型—浙教版数学八下解题模型专项训练

试卷更新日期：2025-06-07 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $C D ， B C$ 上（不与端点重合），且 $B F =$ $C E$ ，连结 $B E ， A F$ 相交于点 $G$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $B E = A F$ B、 $∠ A F B + ∠ B E C = 90^{\circ}$ C、 $∠ D A F = ∠ A B E$ D、 $A G ⊥ B E$

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2. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6，点 $E$ 为 $C D$ 上一点，连接 $A E$ ，过点 $D$ 作 $A E$ 的垂线交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ．若 $D E = 2$ ，则 $A F$ 的长为（）

A、8 B、 $4 \sqrt{13}$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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二、填空题

3. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为 12 ，将正方形沿 $M N$ 折叠，使点 $A$ 落在 $D C$ 边上的点 $E$ 处，且 $D E = 5$ ，则折痕 $M N$ 的长为

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4. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点E，F分别在边 $C D ， A D$ 上， $B E ⊥ C F$ 于点G，若 $B C = 8 ， A F = 2$ ，则 $G F$ 的长为．

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5. 如图，正方形ABCD的边长为a ，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF ， AE与BF相交于点G ，连接CG ，则CG的最小值为．

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6. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB 上的点，连接CE，过点D作 DF⊥CE，分别交 BC，CE于点 F，G.若AB=3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为4：9，则△DCG的面积为， CG+DG的长为.

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三、解答题

7. 已知正方形 $A B C D$ ，

(1)、如图①，正方形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别为 $B C ， C D$ 上的点，且 $A E = B F ， A E$ 与 $B F$ 相交于点 $M$ ．求证： $A E ⊥ B F$ ．

(2)、如图②，如果点 $E ， F ， G$ 分别在 BC， CD， $D A$ 上，且 $G E ⊥ B F$ ，那么 $G E ， B F$ 相等吗？证明你的结论．

(3)、如图③，如果点 $E ， F ， G ， H$ 分别在 $B C$ ， $C D ， D A ， A B$ 上，且 $G E ⊥ H F$ ，那么 $G E ， H F$ 相等吗？证明你的结论．

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8. 已知：如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是 $B C ， C D$ 上的点， $A E ⊥ B F$ ．求证： $A E = B F$ ．

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9. 如图，在正方 ABCD 中，E是BC边上的点，AE的垂直平分线交CD，AB于点F，G， $\frac{B G}{B E} = \frac{3}{4} .$

(1)、若正方形边长为4，求 BG的长；

(2)、求DF：CF的值.

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10. 已知边长为1的正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上，

(1)、如图1，若 $A E ⊥ B F$ ，求证： $E A = F B$ ；

(2)、如图2，若 $∠ E A F = 45 °$ ，
①猜想 $B E$ 、 $E F$ 、 $D F$ 之间的数量关系，并证明；
②当 $A E$ 的长为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，试求 $A F$ 的长度．

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11. 如图1，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ 在 $A B$ 上（不与 $A 、 B$ 重合），点 $F$ 在 $B C$ 上（不与 $B 、 C$ 重合）且满足 $A E = B F$ ，连接 $A F 、 D E$ 并交于点 $G$ ．

(1)、请问：线段 $A F$ 与 $D E$ 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

(2)、如图2，连结 $C G$ ，若点 $E$ 为 $A B$ 的中点，求 $△ C G F$ 的周长．

(3)、如图3，延长 $D E$ 至点 $D^{'}$ 使 $D G = G D^{'}$ ，连结 $B D$ ， $B D^{'}$ ．若 $B D^{'} = \sqrt{2}$ ，求 $△ B D D^{'}$ 的面积．

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12. [基础巩固]
（1）如图所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $A B$ 上的点， $C E ⊥ D F$ 交点为 $H$ ．求证： $C E = D F$ ．
[尝试应用]
（2）如图2所示，在（1）的条件下，连结 $B H$ ．若 $E$ 为 $A D$ 的中点， $C D = 12$ ．求 $\frac{B H}{F H}$ 的值．
[拓展提高]
（3）在正方形 $A B C D$ 中， $F$ 为 $A B$ 上一点，连接 $D F$ ， $M$ ， $G$ 为 $F D$ 上的点（不与 $F$ ， $D$ 重合）， $G$ 在 $M$ 左侧，连接 $C M$ ，作 $C M$ 中点 $N$ ，连接 $D N$ ， $G N$ ， $A M$ ．若 $△ G N D$ 为等腰直角三角形， $∠ G N D = 90 °$ ， $C N = \sqrt{5}$ ， $D N = 3$ ，请直接写出 $A M$ 的长．

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13. 如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG；②AF＝EG．

(1)、请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是______，结论是______（只要填写序号）；

(2)、若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连接AG、EF，直接写出AG+EF的最小值．

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