四边形中的对角互补和含60°角菱形—浙教版数学八下解题模型专项训练

试卷更新日期：2025-06-07 类型：复习试卷

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一、四边形中的对角互补模型

1. 如图，在平面直角坐标系中，A(-3，0)，B为y轴正半轴上一点，C为y轴负半轴上一点，连接AB，AC，过点 C作CD⊥CA，且使 $C D = C A,$ 点D 在第一象限，连接BD，若∠ABD=90°，则点B 的坐标为.

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2. 在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD.

(1)、【探究发现】如图①，若∠BAD= $120^{o}$ ， ∠ABC=∠ADC= $90^{o}$ .求证：AD+AB=AC；

(2)、【拓展迁移】如图②，若∠BAD= $120^{o}$ ， ∠ABC+∠ADC= $180^{o}$ .
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC=10，求四边形ABCD的面积。

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3. 【定义】
如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”。
如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=180°，则四边形ABCD是对补四边形。
图1 图2 图3 备用图
【应用】

(1)、如图1，在对补四边形ABCD中，∠A=100°，则∠C=；

(2)、如图2，在对补四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，DC=2，则BC=；

(3)、如图3，在对补四边形ABCD中，AC平分∠BAD。
①求证：BC=CD；
②若∠BAD=60°，请探究AB、AC、AD的数量关系并说明理由。

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4. 【问题背景】某研究学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，若 $∠ A + ∠ C = 18 0^{°}, A B = A D$ ，我们就把这种四边形称为“邻等对补四边形”，于是规定：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形。
那么“邻等对补四边形”都有哪些特殊的性质呢？该学习小组根据学习经验，进行如下研究。

(1)、【概念辨析】
用分别含有 $3 0^{°}$ 和 $4 5^{°}$ 角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有 ▲ （填序号）。

(2)、【深入探究】
学习小组在探究“邻等对补四边形”的边和对角线时，如图3，四边形ABCD是“邻等对补四边形”，其中 $A D = A B$ ，得到猜想：AC平分 $∠ D C B$ ．请对猜想进行证明．

(3)、【拓展应用】
如图3，在“邻等对补四边形ABCD”中， $A B = A D$ ，若 $A C = 6, ∠ B C D = 6 0^{°}$ ，求四边形ABCD的面积．

(4)、如图4，在边长为6的等边三角形ABC中， $D$ 是AB的中点， $E$ 是AC边上一动点，将 $△ A D E$ 沿ED翻折得到 $△ F E D$ ，延长EF交直线BC于点 $G$ ．若 $C G = 2$ ，则AE的长为 ▲

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二、60°角菱形

5. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60^{\circ}$ ，点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿折线 $B C - C D$ 方向移动，移动到点 $D$ 停止．在 $△ A B P$ 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( )

A、直角三角形 $\to$ 等边三角形 $\to$ 等腰三角形 $\to$ 直角三角形
B、直角三角形 $\to$ 等腰三角形 $\to$ 直角三角形 $\to$ 等边三角形
C、直角三角形 $\to$ 等边三角形 $\to$ 直角三角形 $\to$ 等腰三角形
D、等腰三角形 $\to$ 等边三角形 $\to$ 直角三角形 $\to$ 等腰三角形

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6. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD交于点E，∠DAB=60°，点 F，H分别为AD，BC上的点，且线段 FH过点 E，若四边形BFDH是矩形，则∠DEF的度数为 ( )

A、30° B、40° C、50° D、60°

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7. 如图，在菱形ABCD中，O为中心点， $A B = 4,$ $∠ A B C = 6 0^{\circ},$ 点E，F分别是边AB，AD 上的点，连接OE，OF.若 $A E + A F = 4,$ 则图中阴影部分的面积为 ( )

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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8. 如图，在菱形纸片 $A B C D$ 中， $∠ A = 60^{\circ}$ ，将菱形纸片翻折，使点 $A$ 落在 $C D$ 的中点 $P$ 处，折痕为 $M N$ ，点 $M ， N$ 分别在边 $A B ， A D$ 上，则 $B M ： A M$ 的值为( )

A、 $\frac{1}{8}$
B、 $\frac{1}{7}$
C、 $\frac{1}{6}$
D、 $\frac{1}{5}$

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9. 如图，以正六边形ABCDEF的边CD为边向内作等边△CDG，连结EC，则∠GCE＝°．

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10. 如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线 BD 的中点， $A D x$ 轴且 $A B = 4,$ $∠ A B C = 12 0^{\circ} .$ 将菱形ABCD绕点O旋转，使点B落在x轴上，则旋转后点A对应点的坐标为.

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11. 如图①是某厂家生产的一款地毯，图案由许多相同的菱形组成，图②为其示意图，若菱形的边长为26cm，点B，F之间的距离为 78cm，则 $∠ A B C =$ °厂家为了使图案更美观，不改变菱形的边长，将点A，C之间的距离调节到20cm，则A，E之间的距离为 cm.

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12. 如图，在矩形 $A B C O$ 中，延长 $A O$ 到 $D$ ，使 $D O = A O$ ，延长 $C O$ 到 $E$ ，使 $E O = C O$ ，连接 $A E 、 E D 、 D C 、 C A$ ．

(1)、求证：四边形 $A E D C$ 是菱形；

(2)、连接 $E B$ ，若 $A E = 4$ ， $∠ A E D = 60 °$ ，求 $E B$ 的长．

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13. 已知菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，点P为菱形内部或边上一点．

(1)、如图1，若点P在对角线 $B D$ 上运动，以 $A P$ 为边向右侧作等边 $△ A P E$ ，点E在菱形 $A B C D$ 内部或边上，连接 $C E$ ，求证： $B P = C E$ ．

(2)、如图2，若点P在对角线 $B D$ 上运动，以 $A P$ 为边向右侧作等边 $△ A P E$ ，点E在菱形 $A B C D$ 的外部，若 $A B = 4$ ， $D P = 1$ ，求 $C E$ ；

(3)、如图3，若 $∠ A P B = 60 °$ ，点E，F分别在 $A P$ ， $B P$ 上，且 $A E = B F$ ，连接 $A F$ ， $E F$ ， $∠ A F E = 30 °$ ，求证： $A F^{2} + F E^{2} = A B^{2}$ ．

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14. 在菱形ABCD中， $∠ A = 60 °$ ，点E ， F分别是边AB ， BC上的点．

(1)、【尝试初探】如图1，若 $∠ E D F = 60 °$ ，求证： $D E = D F$ ；

(2)、【深入探究】如图2，点G ， H分别是边CD ， AD上的点，连接EG与FH相交于点O且 $∠ E O F = 60 °$ ，求证： $E G = F H$

(3)、【拓展延伸】如图3，若点E为AB的中点， $A B = 6$ ， $B F = 1$ ．
①设 $D H = x$ ， $C G = y$ ，请用关于x的代数式表示y；
②若 $C G + D H = 6$ ，求EG的长．

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