精选新题速递（3）—浙江省七（下）数学期末复习

试卷更新日期：2025-06-07 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知分式 $\frac{x - a}{2 x + b}$ （a，b为常数）， $x$ 的部分取值及对应分式的值如下表，则 $p$ 的值是（）
$x$
-3
3
$p$
$\frac{x - a}{2 x + b}$
无意义
0
2

A、-2 B、-5 C、3 D、4

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2. 下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（）

姓名：李明班级：八(2)班得分：____

判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”.

①代数式 $\frac{a}{3}$ ， $\frac{x + y}{y}$ 都是分式（×）

②当 $y \neq 2$ 时，分式 $\frac{y}{y - 2}$ 有意义（√）

③若分式 $\frac{| x | - 3}{x - 3}$ 的值为0，则 $x = \pm 3$ （√）

④式子 $\frac{x}{y} = \frac{x + 1}{y + 1}$ 从左到右变形正确（√）

⑤分式 $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} b + a b^{2}}$ 是最简分式（√）

A、40 B、60 C、80 D、100

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二、填空题

3. 已知3^a+1+3^a=108，3^b+1-3^b=54，则a+b的值为.

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4. 已知 $a^{2} - 3 a = 5$ ，则代数式 $(2 a^{3} - 6 a^{2}) \div a + 11 =$ .

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5. 已知 $3^{12} - 1$ 可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为．

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三、解答题

6. 阅读与思考

配方法

把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用.

例如：

①用配方法因式分解：a²+6a+8

原式=a²+6a+9-1=(a+3)²-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2)

②求2x²+12x+22的最小值.

解：2x²+12x+22=2(x²+6x+11)先求出x²+6x+11的最小值

x²+6x+11=x²+6x+9+2=(x+3)²+2；

由于(x+3)²是非负数，所以(x+3)²≥0，可得到(x+3)²+2≥2，即x²+6x+11的最小值为2.

进而2x²+12x+22的最小值为4.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)、在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a²+4a+

(2)、用配方法因式分解：a²+12a+35；

(3)、求2x²-4x+10的最小值.

(4)、已知实数x，y满足-x²+5x+y-3=0，求x+2y的最小值，并指出此时y的值.

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7. 今年3至8月份期间，根据 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三种品牌空调的销售情况制作统计图如下，根据统计图，回答下列问题：

(1)、3至8月份期间，_____品牌空调销售量最多（填“ $A$ 、 $B$ 或 $C$ ”）；8月份 $C$ 品牌空调销售量有_____台；扇形统计图中，A品牌所对应的扇形的圆心角是_____ $°$ ；

(2)、8月份，其他品牌的空调销售总量是多少台?

(3)、小明打算选购一台空调，你建议小明购买哪种品牌的空调？请你写出一条理由．

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8. 对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.

(1)、判断方程6-4(1-x)=2x与 $\frac{3 x - 1}{x + 2} = - 4$ 是否为“相似方程”，并说明理由；

(2)、已知关于x ， y的二元一次方程y=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.

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9. 【知识回顾】借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略。用4个完全相同的小长方形拼成如图①的正方形，大正方形的边长为 $(a + b)$ ，小正方形（阴影部分）的边长为 $(a - b)$ 。

(1)、观察图①，写出 $(a + b)^{2}, (a - b)^{2}, a b$ 之间的等是关系式：    ▲    ；

(2)、【深入探究】小深在写作业时遇到了这样的一个数学题目，“若 $x$ 满足 $(10 - x) (x - 6) = 3$ ，求 $(10 - x)^{2} + (x - 6)^{2}$ 的值”，小深的解题过程如下：
令 $10 - x = a, x - 6 = b$ ，则 $a b = (10 - x) (x - 6) = 3$ 。
因为 $a + b = (10 - x) + (x - 6) = 4$ ，
所以 $(10 - x)^{2} + (x - 6)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 4^{2} - 2 \times 3 = 10$ 。
请你类比上述方法解决以下问题：
若 $x$ 满足 $(2025 - x) (x - 2024) = - 30$ ，
① $(2025 - x)^{2} + (x - 2024)^{2} =$     ▲    ；
②求 $(4049 - 2 x)^{2}$ 的值；

(3)、【应用迁移】图②是某校的花园规划用地示意图：在正方形ABCD空地中开发一个长方形区域EDGF种花，经测量种花区域的面积为 $300, A E = 15, G C = 30$ ，分别以ED ， DG为边开发正方形区域MQDE ， DHNG种草，开发长方形区域QPHD为休憩区，则整个花园MPNF的面积为    ▲    。

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$x$	-3	3	$p$
$\frac{x - a}{2 x + b}$	无意义	0	2