5月下旬之圆—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2025-06-05 类型：三轮冲刺

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一、选择题

二、填空题

1. 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点 $C$ 都是有触礁危险的临界点， $∠ A C B$ 就是“危险角”．船 $P$ 与两个灯塔的夹角为 $α$ ，若 $∠ A C B = 5 5^{°}$ ，则船 $P$ 位于安全区域时， $α$ 的大小可能为°．（写出一个即可）

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三、解答题

2. 如图，在 $△ A B C$ 中，以 $A B$ 上一点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 、 $A B$ 相交于 $D$ 、 $E$ ，连接 $A D$ ．

(1)、从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．
① $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；② $∠ A C B = 90 °$ ；③直线 $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）；

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ B = 30 °$ ， $B E = 2$ ，求图中阴影部分的面积．

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C < B C$ ．

(1)、实践与操作：点O在线段 $B C$ 上，以O为圆心作 $⊙ O$ ， $⊙ O$ 恰好过A，C两点，并与线段 $B C$ 交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全 $⊙ O$ ．

(2)、推理与计算：
在（1）的条件下，若 $2 ∠ C + ∠ B = 90 °$ ．
①求证：直线 $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；
②若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 6 \sqrt{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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4. 已知直线 $l$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ．

(1)、如图1，BE是 $⊙ O$ 的直径，延长BE与直线 $l$ 交于点 $A$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ l$ ，垂足为 $C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接BD ．若 $B C = 5, A C = 12$ ，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ▲ ，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分）

(2)、如图2，点 $P$ 是圆上一点，请用尺规在直线 $l$ 上求作一点 $Q$ ，使得PQ与 $⊙ O$ 相切（不写作法，保留作图痕迹）．

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C < B C$ 。

(1)、实践与操作：点 $O$ 在线段BC上，以 $O$ 为圆心作 $⊙ O, ⊙ O$ 恰好过 $A$ ， $C$ 两点，并与线段BC交于另一点 $D$ 。小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示。请你用尺规作图：作出点 $O$ 与点 $D$ ，并补全 $⊙ O$ 。

(2)、推理与计算：
在（1）的条件下，若 $2 ∠ C + ∠ B = 9 0^{°}$ 。
①求证：直线AB是 $⊙ O$ 的切线；
②若 $A B = 2 \sqrt{2}, B C = 6 \sqrt{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径。

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6. 已知：矩形 $A O C D$ 的边 $A O$ 长为2，点P在射线 $O C$ 上，过点O、P的 $⊙ B$ 与 $D P$ 相切于点P．

(1)、如图1，若点B在对角线 $O D$ 上，且 $∠ O D P = 30 °$ ，则 $O C$ 的长度是______；

(2)、如图2，以O为原点， $O C$ 为x轴建立平面直角坐标系， $C (6, 0)$ ，设 $O P = n$ ，
①求点B坐标（用含n的代数式表示）．
②连接 $B P$ ，设 $M = \frac{△ B O P 的面积}{△ D O P 的面积}$ 且 $0 < n < 6$ ，当M取最大值时，作 $C E ⊥ O D$ 于E交 $P D$ 于F， $P B$ 与 $O D$ 交于G，求 $\frac{G P}{F P}$ 的值．

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7. 如图1，在 $Rt △ A D C$ 中， $∠ A D C = 90 °$ ， $∠ D A C = 37 °$ ， $A C = 10$ ，点O在边 $A D$ 上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心， $O D$ 为半径，在 $A D$ 的下方作半圆O，半圆O与 $A D$ 交于点M．（ $\sin 37 ° = 0.6$ ， $\cos 37 ° = 0.8$ ， $\tan 37 ° = 0.75$ ）

(1)、如图1，当 $O D = 2 \sqrt{3}$ 时， $∠ O C D =$ $°$ ，点C到半圆O的最短距离= ；

(2)、半圆O与 $A C$ 相切时，求 $O D$ 的长？

(3)、如图2，半圆O与 $A C$ 交于点E、F，当 $E F = 6.4$ 时，求扇形 $E O F$ 的面积？

(4)、以 $A D$ ， $D C$ 为边矩形 $A B C D$ ，当半圆O与 $△ A B C$ 有两个公共点时，则 $O D$ 的取值范围是．

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