5月下旬之三角形、四边形—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2025-06-05 类型：三轮冲刺

进入出卷网下载

一、选择题

1. 如图，某条楼梯及栏杆可以看作三角形 $A B C$ 与平行四边形 $A C D E$ 构成，若 $∠ D = 59 °$ ，则该楼梯的坡角 $∠ B A C$ 的值为（）

A、 $59 °$ B、 $41 °$ C、 $31 °$ D、 $49 °$

查看试题解析
2. 如图，在四个相同的 $4 \times 4$ 正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形ABCD ，其中边CD上的高最小的是

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
3. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿 $A C$ 剪开，再把 $△ A B C$ 沿着 $A D$ 方向平移，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ．若重叠部分为菱形，则菱形的边长是（）

A、 $\frac{15}{8}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{3}{2}$

查看试题解析
4. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(18, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0, 6)$ ，以OA、OC为边作矩形OABC；动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动；当移动时间为8秒时， $A C \cdot E F$ 的值（）

A、30 B、 $18 \sqrt{10}$ C、60 D、120

查看试题解析

二、填空题

5. 如图，一束激光 $P A$ 射入水面，在点 $A$ 处发生折射，折射光线 $A B$ 在杯底形成光斑 $B$ 点．水位下降时，光线 $P A$ 保持不变，此时光线在点 $C$ 处发生折射，光斑移动到 $D$ 点．因水面始终与杯底平行，则折射光线 $C D ∥ A B$ ．若 $∠ 1 = 48 °$ ， $∠ 2 = 26 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为 $°$ ．

查看试题解析
6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，连接 $B D$ 并延长至点 $E$ ，使得 $B D = D E$ ，连接 $A E$ ，恰好有 $A E ⊥ D E$ ．若 $\frac{B C}{B D} = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{A F}{F C} =$ ．

查看试题解析

三、解答题

7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $B C$ 上一点，点 $C$ 关于 $A D$ 的对称点 $C^{'}$ 落在 $A B$ 边上．
【实践与操作】（1）请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与 $C^{'}$ ；
【推理与计算】（2）以 $D$ 为圆心， $C D$ 为半径作 $⊙ D$ ，若点 $A$ 恰好落在 $⊙ D$ 上，且 $A B = 10$ ， $B C = 13$ ，求 $⊙ D$ 的半径．

查看试题解析
8. 【定义】若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称为“角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”．例如：如图1，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的角平分线 $A E$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，若 $E$ 为 $B C$ 边的中点，则称 $▱ A B C D$ 是“角分平行四边形”， $A E$ 是“角分线”．
【性质】（1）如图 $1$ ，从定义上我们可以得到“角分平行四边形 $A B C D$ ”具有“平行四边形， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $B E = C E$ ”的基本性质，除此之外，还有其它性质吗？请写出其中一条性质，并说明理由．
【判定】（2）如图 $2$ ，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 2 A B$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是“角分平行四边形”．
【应用】（3）现计划在如图 $3$ 所示的“角分平行四边形” $A B C D$ 绿地上进行景观美化，其中小路 $A E$ 是它的“角分线”，另一条小路 $C M$ 与边 $A B$ 交于点 $M$ ，且 $B M = 2 A M$ ，在 $△ A M N$ 和 $△ C E N$ 区域种植同品种的花卉，若 $△ A M N$ 区域的花卉种植费用为 $a$ 元，求 $△ C E N$ 区域的花卉种植费用（用含有 $a$ 的式子表示）．

查看试题解析
9. （1）如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 10$ ，将 $A D$ 沿 $D F$ 折叠， $A$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $B C$ 边上．若 $sin ∠ D E C = \frac{3}{5}$ ，求 $B E$ ．
（2）如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上的一点， $∠ A D E = 2 ∠ B A E$ ， $sin ∠ D E C = \frac{8}{17}$ ， $B E = 2$ ，求 $A B$ ．
（3）如图3，在（2）的条件下， $F$ 是射线 $E A$ 上的一点，且 $A F = \frac{1}{2} A E$ ，求 $\frac{C P}{P F}$ ．

查看试题解析
10. 综合与实践
【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为 $\sqrt{2}$ 的矩形．
【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为 $\sqrt{2}$ ，则这个四边形为类A4矩形．
【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？

(1)、【分析并解决问题】
学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，其中 $A B = a, A D = \sqrt{2} a$ ．求证：四边形CDMN是类A4矩形；

(2)、学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE ，再将其沿FG折叠，使得点 $B$ 与点 $E$ 重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形；

(3)、【拓展】
如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分 $B D, A C = 10 \sqrt{2}, B D = 10$ ，点E，F，G ， $H$ 分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点 $B$ 的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值．

查看试题解析

11.

(1)、（一）探究过程

如图①，在ABC中，BD平分 $∠ A B C$ 交AC于点 $D$ ，该同学得出 $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{C D}$ ．如图②，该同学给出如下证明过程：

方法一：

如图②，过点 $A$ 作 $A E / / B C$ ，交AD延长线于点 $E$ ，

$∵ A E / / B C$

$∴ \frac{A E}{B C} =$ ▲ ①

$∠ 2 = ∠ E$

$∵ B D$ 平分 $∠ A B C$

$∴ ∠ 1 = ∠ 2$

$∴ ∠ E = ∠ 1$

$∴ A E =$ ▲ ②

$∴ \frac{A B}{B C} = \frac{A D}{C D}$

方法二：

如图③过点D作 $D N ⊥ A B$ 于点 $N, D M ⊥ B C$ 于点 $M$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $∵ B D$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $D N ⊥ A B, D M ⊥ B C$

$∴$ ▲ ③

$∴ \frac{S_{△ A B D}}{S_{△ C B D}} = \frac{\frac{1}{2} A B \times D N}{\frac{1}{2} B C \times D M} =$ ▲ ④

又 $∵ \frac{S_{△ A B D}}{S_{△ C B D}} = \frac{\frac{1}{2} A D \times B E}{\frac{1}{2} C D \times B E} = \frac{A D}{C D}$

$∴ \frac{A B}{B C} = \frac{A D}{C D}$

请完成填空：① ▲ ；② ▲ ；③ ▲ ；④ ▲ ；

(2)、（二）内化迁移

如图④，点 $D$ 为 $△ A B C$ 的边CA延长线上一点，连接BD，M为边CB延长线上一点，当 $\frac{B A}{B C} = \frac{A D}{C D}$ 时，判断 $∠ A B D$ 与 $∠ D B M$ 的数量关系，并给出证明；

(3)、（三）问题解决

如图⑤，在矩形ABCD中， $A B = 6, A D = 4, E$ 为边BC上一点， $G$ 为CB延长线上一点． $Q$ 为矩形内部一动点，连接CQ并延长交AB于点 $H$ ，连接QE ，若 $Q C = 2 Q E, Q F$ 平分 $∠ C Q E$ 交BC于点 $F, F E = 1$ ，当 $G E = E C$ 时，连接QG、QD ，求 $Q D - B E$ 的最小值．

查看试题解析

12. 【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于 $18 0^{°}$ 的四边形）
例如：如图1，在四边形ABCD中，如果 $B A = B C, ∠ C = 9 0^{°}$ ，那么四边形ABCD为单直邻等四边形．

(1)、【实践与操作】
如图2，已知 $∠ A = 9 0^{°}$ ，请利用尺规作图，在射线AM上画出点 $D$ ，并补全四边形ABCD ，使四边形ABCD是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）；

(2)、如图3， $△ A B C$ 为等边三角形，点 $E$ 在 $∠ A B C$ 的角平分线上，连接EA ，将EA绕点 $E$ 顺时针旋转 $6 0^{°}$ 得到线段ED ，连接CD，AD ．
求证：四边形ABCD为单直邻等四边形；

(3)、【拓展应用】
如图4，四边形ABCD为单直邻等四边形， $∠ B C D = 9 0^{°}, A B = B C = \sqrt{3}$ ，连接BD ，若 $∠ C B D = 3 0^{°}$ ， $B D = A D$ ，作 $∠ D A E = 3 0^{°}$ ，且 $D E ⊥ A E$ ，连接CE并延长交BD于点 $F$ ，交AB于点 $M$ ．求CM的长；

(4)、【解决问题】
如图5，射线 $C F ⊥ C D$ 于点 $C, ∠ E C F = 3 0^{°}, C D = 4 \sqrt{3}$ ，点 $A$ 在射线CE上， $D A = \sqrt{39}$ ，点 $B$ 在射线CF上，且四边形ABCD为单直邻等四边形， $∠ A B C$ 的角平分线交CD于点 $P$ ，请直接写出BP的长 ▲ ．

查看试题解析
13. 如图1，点 $P$ 是 $▱ A B C D (A D > A B)$ 对角线BD上的一点 $(B P > P D)$ ，且使得 $∠ A B P = ∠ A P B$ ，连接AP并延长，交CD于点 $E$ 。

(1)、若 $\frac{P D}{B D} = \frac{2}{5}$ ，求 $\frac{C E}{D E}$ 的值。

(2)、如图2，将 $△ A D P$ 沿AB方向平移到 $△ B C M$ ，求证： $∠ A D B = ∠ M D B$ 。

(3)、如图3，连接PC ，取PC的中点 $M$ ，连接DM交AE于点 $F$ ，若 $\frac{C E}{C D} = \frac{1}{4}$ ，求 $\frac{D F}{A D}$ 的值。

查看试题解析