5月下旬之数式与函数—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2025-06-05 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率 $f (H z)$ 是琴弦张力 $T (N)$ 的反比例函数．已知当张力 $T = 200 N$ 时，频率 $f = 220 H z$ （即达到标准音高A3）．若要使频率升高到440Hz（即达到标准音高A4），应该如何调整张力？

A、增大至150N B、减小至150N C、增大至100N D、减小至100N

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2. 图甲为我国古代的计时工具——漏刻，图乙为它的示意图．漏壶中的水均匀滴入箭壶，木块与箭杆组成的箭舟匀速上浮，从盖孔处看箭杆上的标记h，就能知道对应的时刻t，下表记录了t（分钟）与对应h（厘米）的部分数据，其中有一个h的值记录错误，则错误的是（）
$t /$ 分钟
0
1
2
3
4
5
…
$h /$ 厘米
$0 .7$
$1 .2$
$1 .5$
$1 .9$
$2 .3$
$2 .7$
…

A、 $0 .7$ B、 $1 .2$ C、 $1 .5$ D、 $1 .9$

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二、填空题

3. 请写出同时满足“① $y$ 随 $x$ 的增大而增大；②函数图象与 $y$ 轴交于负半轴”两个条件的一次函数解析式：．

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4. 小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长 $λ (m)$ 会随着电磁波的频率 $f (MHz)$ 的变化而变化．已知波长 $λ$ 与频率 $f$ 是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若 $f = 60 MHz$ ，则电磁波的波长 $λ =$ $m$ ．
频率 $f / MHz$
10
15
50
波长 $λ / m$
30
20
6

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5. 如图，已知 $Rt △ A B O$ 中， $A O = 6$ ， $tan ∠ B A O = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $△ A B C$ 与 $△ A B O$ 关于 $A B$ 所在直线对称，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 恰好经过点 $C$ ，则 $k =$ ．

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6. 双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 如图所示，边长为2的正方形 $A B C D$ 顶点A横坐标为2， $A D ∥ x$ 轴．将正方形 $A B C D$ 向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，则k的值是．

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三、解答题

7. 为响应深圳市教育局“每周半天计划”，深圳某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托鲲鹏径20段特色线路展开活动．学校将初一年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的200公里轨迹．
【信息收集】信息一：
路段
路程（千米）
计划平均速度（千米／时）
第11组
鲲鹏径11段
（梧桐山北大门至大梧桐顶）
12.5
$a + 1.3$
第19组
鲲鹏径19段
（西涌至东涌）
6
$a$
信息二：第11组和第19组计划用时相等．
【问题解决】

(1)、求 $a$ 的值和计划用时；

(2)、第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米/时多长时间？

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8. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买A， $B$ 两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套 $B$ 型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高 $30 %$ ，若按标价购买共需花费4300元，其中购买A型号“文房四宝”花费3000元．

(1)、求每套 $A$ 型号的“文房四宝”的标价．

(2)、该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A， $B$ 两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折， $B$ 型号“文房四宝”满20套送一套的优惠价，已知A， $B$ 两种型号的“文房四宝”每套进价分别为50元和105元，学校购买了A型号“文房四宝”50套，若通过此单生意，该店获利不低于2100元，则该校至少买了多少套 $B$ 型“文房四宝”？

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9. 如图1，一个小球以 $v_{0} = 10 cm / s$ 的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段 $A C$ 绝对光滑；除 $A C$ 段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度 $v (cm / s)$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系如图2所示，其路程 $s (cm)$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系如图3所示（ $P Q$ 段是拋物线 $s = - \frac{1}{4} t^{2} + m t + n$ 的一部分）．

(1)、轨道初段 $A C$ 的总长为__________ $cm$ ；并求出小球在粗糙轨道（图中射线 $C B$ 上）运动时， $v (cm / s)$ 与 $t (s)$ 之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．

(2)、①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为 $140 cm$ ，求抛物线 $s = - \frac{1}{4} t^{2} + m t + n$ 的函数关系式．
②延长线段 $O P$ ，如果直线 $O P$ 与抛物线有且只有一个交点，且直线 $O P$ 不与抛物线对称轴平行，则称线段 $O P$ 与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段 $O P$ 与抛物线是否光滑连接？

(3)、在（2）的条件下，在射线 $C B$ 上，是否存在一节长为 $9 cm$ 的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为 $1 s$ ．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．

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10. 城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．如图1是2025年深圳地铁线路图．小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离 $s$ （米）与滑行时间 $t$ （秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．

(1)、建立模型
①收集数据
$t$ （秒）
0
4
8
12
16
20
24
$s$ （米）
256
196
144
100
64
36
16
②建立平面直角坐标系
为了观察 $s$ （米）与 $t$ （秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 ▲ 函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设 $s = a t^{2} + b t + c (a \neq 0)$ ，因为 $t = 0$ 时， $s = 256$ ，所以 $c = 256$ ，则 $s = a t^{2} + b t + 256$ ．
请根据表格中的数据，求a，b的值．
验证：把a，b的值代入 $s = a t^{2} + b t + 256$ 中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．

(2)、应用模型
列车从减速开始经过 ▲ 秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为 ▲ 米．

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11. 小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量36千卡．

(1)、小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？

(2)、小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，
①假设安排 $m$ 个深蹲，则安排 ▲ 个开合跳；（用含 $m$ 的代数式填空．）
②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？

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12. 数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m (m$ 为常数）进行研究．
【特例分析】
（1）数学兴趣小组分别取 $m = 1, 2, 3$ 三个特殊值进行特例研究．
①确定表达式：
当 $m = 1$ 时， $y_{1} = x^{2} - 2 x + 1$ ，当 $m = 2$ 时， $y_{2} = x^{2} - 4 x + 2$ ，当 $m = 3$ 时， $y_{3} =$ ____________；
②画函数图象：
平面直角坐标系中已画出 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的图象，请你在同一坐标系中画出 $y_{3}$ 的图象；
【性质探究】
（2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论 $m$ 为何值，二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m$ 图象经过点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ ．请问这个猜想是否正确？请说明理由．
【性质应用】
（3）已知点 $A (- 2, - 5), B (2, - 1)$ ，若二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m$ 图象与线段 $A B$ 有且只有一个交点，求 $m$ 的取值范围．

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13. 太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为 $y = a x^{2}$ ，则抛物线的焦点为 $(0, \frac{1}{4 a})$ ．

(1)、已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，则焦点的坐标是______；

(2)、如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与 $y$ 轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径 $A B$ 为1.5米，凹面深度 $C D$ 为0.25米，求抛物线的表达式______；

(3)、如图4，在（2）的条件下， $M N$ 为平行于 $y$ 轴的入射光线， $N F$ 为反射光线， $N$ 为切点， $F$ 为焦点，当 $∠ M N G = ∠ F N G = 22.5 °$ 时，求点 $N$ 的横坐标；

(4)、如图5，在（1）的条件下，点 $E$ 是焦点， $α$ 表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当 $α$ 为 $45 °$ 时，求点 $B$ 的坐标．

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14. 如图，已知二次函数 $y_{1} = - x^{2} + 4 x$ 的图象与 $x$ 轴交于点O，A ．

(1)、线段OA的长度为 ▲ ；

(2)、将函数 $y_{1}$ 的图象沿 $x$ 轴正方向平移 $m (m > 0)$ 个单位得到函数 $y_{2}$ 的图象，平移后点O，A的对应点为B，C ．当点 $A$ 在点 $B$ 的左边时，函数 $y_{1}, y_{2}$ 的图象交于点 $P$ ，若 $A B = 2$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，过 $y_{1}$ 的图象顶点作 $x$ 轴的平行线 $l$ ，将直线 $l$ 向下平移，当直线 $l$ 与函数 $y_{1}, y_{2}$ 的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，请判断 $x_{4} - x_{3} + x_{2} - x_{1}$ 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．

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15. 综合与探究
【定义】对于y关于 $x$ 的函数，函数在 $x_{1} \leq x \leq x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 范围内有最大值 $m$ 和最小值 $n$ ，则称 $m - n$ 为函数的极差值，记作 $R [x_{1}, x_{2}] = m - n$ ．
【示例】对于函数 $y = 2 x$ ，在 $- 2 \leq x \leq 3$ 范围内，当 $x = 3$ 时，该函数取最大值 $m = 6$ ；当 $x = - 2$ 时，该函数取最小值 $n = - 4$ ，即 $R [- 2, 3] = m - n = 6 - (- 4) = 10$ ．
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、一次函数 $y = - x + 5$ 的极差值 $R [- 1, 2] =$ ▲ ；

(2)、已知函数 $y = | \frac{1}{4} x^{2} - 2 x |$ 的图象经过以下各点：
①绘图：
列表：下表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，其中 $q =$ ▲ ；
$x$
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
$y$
…
$\frac{33}{4}$
$q$
$\frac{9}{4}$
0
$\frac{7}{4}$
3
$\frac{15}{4}$
4
$\frac{15}{4}$
3
$\frac{7}{4}$
0
$\frac{9}{4}$
5
$\frac{33}{4}$
…
描点：根据表中各组对应值 $(x, y)$ ，请在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整；
②求该函数的R[2，10]的值；

(3)、已知函数 $y_{1} = \frac{1}{k} x + 1 (k > 0)$ 和函数 $y_{2} = (a - 2) x^{2} - 4 a x + a^{2} - 4$ 是 $y$ 关于 $x$ 的函数，并且两个函数的 $R [0, \frac{9 k}{4}]$ 相等．其中函数 $y_{2} = (a - 2) x^{2} - 4 a x + a^{2} - 4$ 的图象经过点 $(0, 0)$ ，请直接写出 $k$ 的值．

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16. 如图1，一个小球以 $v_{0} = 10 c m / s$ 的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动。轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙。小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止。小球运动过程中，其速度 $v (c m / s)$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系如图2所示，其路程 $s (c m)$ 与时间 $t (s)$ 之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线 $s = - \frac{1}{4} t^{2} + m t + n$ 的一部分）。

(1)、轨道初段AC的总长为 ▲ cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时， $v (c m / s)$ 与 $t (s)$ 之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）。

(2)、①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线 $s = - \frac{1}{4} t^{2} + m t + n$ 的函数关系式。
②延长线段OP ，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接。请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？

(3)、在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s。若存在，请求出这节轨道的起点与点 $A$ 之间的距离；若不存在，请说明理由。

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$t /$ 分钟	0	1	2	3	4	5	…
$h /$ 厘米	$0 .7$	$1 .2$	$1 .5$	$1 .9$	$2 .3$	$2 .7$	…

$x$	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…
$y$	…	$\frac{33}{4}$	$q$	$\frac{9}{4}$	0	$\frac{7}{4}$	3	$\frac{15}{4}$	4	$\frac{15}{4}$	3	$\frac{7}{4}$	0	$\frac{9}{4}$	5	$\frac{33}{4}$	…

频率 $f / MHz$	10	15	50
波长 $λ / m$	30	20	6

$t$ （秒）	0	4	8	12	16	20	24
$s$ （米）	256	196	144	100	64	36	16