5月下旬之图形变换、图形与坐标—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递

聪聪学习解直角三角形知识后，对光的折射进行了综合性的学习．查阅资料了解到，光从空气进入H液体，会发生折射，折射率$n=\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\text{θ}}_1}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\text{θ}}_2}\mathrm{,}{\text{θ}}_1$表示入射角，${\text{θ}}_2$表示折射角．

第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，测得水槽高度$AC=18\text{c}\text{m}$ ， 一束光线从$A$点按固定方向投射到底部的$B$点形成光斑，测得$BC=24\text{c}\text{m}$ ．

第二步：向水槽注入H液体，液体高度$CE=12\text{c}\text{m}$时，此时光斑因光线折射向左移动至点$D$ ， 测得$BD=7\text{c}\text{m}$ ． （其中$O$为入射点，直线MN为法线，AO为入射光线，OD为折射光线）

根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法．

【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点$B,C$处同时测得热气球$A$的仰角$\angle ABD=45°$ ， $\angle ACD=53°$ ， $BC=15\text{m}$ ， 点$B,C,D$在地面的同一条直线上，$AD\perp BD$于点$D$ ． （测角仪的高度忽略不计）

【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度$AD$ ． （参考数据：$\text{sin}53°\approx \frac{4}{5}$ ， $\text{cos}53°\approx \frac{3}{5}$ ， $\text{tan}53°\approx \frac{4}{3}$）

【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空：

（2）如图2，在锐角三角形$ABC$中，设$\angle ABC=\alpha$ ， $\angle ACB=\beta$ ， $BC=m$ ， $AD\perp BC$于点$D$ ， 用含$\alpha ,\beta$和$m$的代数式表示$AD$ ．

解：设$AD=x$ ， 因为$\text{tan}\alpha =\frac{AD}{BD}=\frac{x}{BD}$ ，

所以$BD=\frac{x}{\text{tan}\alpha }$ ．

同理，因为$\text{tan}\beta =\frac{AD}{CD}=\frac{x}{CD}$ ，

所以$CD=$$\underset{\_}{\text{①}}$ ．

因为$BC=BD+CD=m$ ，

解得$x=$$\underset{\_}{\text{②}}$ ．

即可求得$AD$的长．