5月下旬之函数—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2025-06-05 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 在平面直角坐标系中，点 $A (- 2, y_{1}), B (2, y_{2}), C (m, y_{3})$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a > 0)$ 上．设抛物线的对称轴为直线 $x = h$ ．若当 $h + 1 < m < h + 2$ 时，都有 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ ，则 $h$ 的取值范围为（）

A、 $1 ⩽ h ⩽ 2$ B、 $2 ⩽ h ⩽ 3$ C、 $1 ⩽ h ⩽ 3$ D、 $h < 2$ 或 $h > 3$

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2. 数学兴趣小组借助绘图软件探究函数 $y = \frac{n x}{{(x + m)}^{2}}$ 的图象.现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足( )

A、m>0，n>0 B、m>0，n<0 C、m<0，n>0 D、m<0，n<0

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3. 如图，在“探索一次函数 $y = k x + b$ 中k，b与图象的关系”活动中，已知点 $A (3, 3)$ ，点 $P (m, n)$ 在第一象限内，若一次函数 $y = k x + b$ 图象经过A，P ，则下列判断正确的是（）

A、当 $m > n$ 时， $b > 0$ B、当 $m < n$ 时， $b < 0$ C、当 $m + n = 3$ 时， $k > 0$ D、当 $m + n = 3$ 时， $k < 0$

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4. 定义：抛物线 $y = a (x - m)^{2} + k$ （a， m， k 为常数， $a > 0$ ）中存在一点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，使得 $\frac{y_{0} - k}{x_{0} - m} = 2$ ，则称 $y_{0} - k$ 为该抛物线的“相对深度”.根据上述定义解答问题：已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x + 1 (a > 0)$ 的“相对深度”为 4，则 a 的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、1 C、2 D、4

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二、填空题

5. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是斜边AB上一个动点.过点E作EF⊥AB，垂足为E，交边AC（或边CB）于点F，连接CE，设AE=x，△CEF的面积为y，则y与x之间的函数图象如图2，已知 $\frac{m}{n} = \frac{3}{7}$ ，则tanA=.

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三、解答题

6. 已知二次函数y=（x-m）（x-m+2），回答下列问题：

(1)、若该函数图象经过点（2，-1）
①求该函数图象与x轴的交点坐标；
②点A（-1，1）向上平移2个单位长度，向右平移K（K>0）个单位长度后，落在二次函数y=（x-m）（x-m+2）图象上，求K的值。

(2)、若该函数图象经过点（2m-1， a）与点（3m-4，b），且与x轴的两个交点到点（1，0）的距离均小于2，求证：b＜a。

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7. 在现代智能仓储系统中，一款名为“SwifiBot”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据：
载重W（kg）
…
10
12
15
20
30
…
v（m/s）
…
6
5
4
3
2
…

(1)、把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如（10，6），（12，5）..已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点；

(2)、观察所画的图象，猜测与W之间的函数关系，并求出函数关系式；

(3)、某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量。

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8. 某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度

y (^{°} C)

与时间

x (m i n)

的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从

3 0^{°} C

加热到

6 0^{°} C

需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．

方案

恒温 $6 0^{°} C$ 工作

间歇加热工作

过程

①从 $3 0^{°} C$ 加热到 $6 0^{°} C$ ；

②保持 $6 0^{°} C$ 进行加工。

①从 $3 0^{°} C$ 加热到 $9 0^{°} C$ ；

②自然降温到 $6 0^{°} C$ ；

③再次加热到 $9 0^{°} C$ ；

循环②③两个阶段。

加热成本

加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元。（注：自然降温阶段不产生成本）

(1)、求材料加热到

9 0^{°} C

的时间。

(2)、求材料自然降温时，

y

关于

x

的函数表达式。

(3)、已知该工艺品操作时温度需保持在

60 ~ 9 0^{°} C

（包括

6 0^{°} C

，

9 0^{°} C)

，为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）。仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？

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9. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ （a，b为常数且 $a \neq 0$ ）的图像经过（-1，0），对称轴为直线 $x = 1$ 。

(1)、求二次函数的表达式。

(2)、函数图象上有两个点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 。
① 当 $- 1 \leq x_{1} \leq 0$ ， $\frac{1}{2} \leq x_{2} \leq \frac{3}{2}$ 时，求 $y_{1} - y_{2}$ 的最大值。
② 若 $m \leq x_{1} \leq m + 1$ ， $m + 2 \leq x_{2} \leq m + 3$ 时，存在 $y_{1} - y_{2} = 1$ ，求m的取值范围。

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10. 为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量 $y$ （单位： $k W \cdot h$ ）与充电时间 $x$ （单位：h）的函数图象如图所示，其中折线ABC表示用快速充电桩充电时 $y_{1}$ 与 $x$ 的函数关系；线段AD表示用普通充电桩充电时 $y_{2}$ 与 $x$ 的函数关系．根据相关信息，回答下列问题：

(1)、用快速充电桩充电时，电池电量从 $20 k W \cdot h$ 充到 $100 k W \cdot h$ 需小时．

(2)、求 $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $x$ 的取值范围．

(3)、车主小叶发现电池剩余电量为 $20 k W \cdot h$ ，于是开始充电，先用普通充电桩充电 $a h$ ，后改为快速充电桩充电到 $100 k W \cdot h$ ，先后充电总共用时1h，求 $a$ 的值．

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11. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ （b，c为常数）的图象经过点 $A (2, 2)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若此函数图象上有一点 $B (m, n)$ 到 $y$ 轴的距离不大于2，求 $n$ 的最大值与最小值之差；

(3)、已知点 $P (2 t - 1, y_{1}), Q (3 - t, y_{2})$ 在该二次函数的图象上且位于 $y$ 轴的两侧，若 $y_{1} > y_{2}$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围．

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12. 实践活动：确定 $L E D$ 台灯内滑动变阻器的电阻范围．
素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的 $L E D$ 台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻 $R_{2}$ 来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中 $R = R_{1} + R_{2}$ ，已知 $R_{1} = 5 Ω$ ，实验测得当 $R_{2} = 10 Ω$ 时， $I = 0.4 A$ ．
素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在 $300 - 750 lux$ 之间（包含临界值）．
任务1：求I关于R的函数表达式．
任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定 $R_{2}$ 的取值范围．

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13. 一辆快车和一辆慢车在相距16km的A，B两站点间往返载客，两车均在每天早上8：00从A站出发，快车中途不停靠，慢车仅在A，B两站的中点C站点停靠上下客，设两车行驶速度不变，在各站点停靠时长相同，两车离A站的路程为S（km），经过的时间为：（min），上午发车后慢车第一个往返期间两车行驶如图所示.

(1)、求慢车、快车的速度和他们第一次停靠的时长.

(2)、求慢车和快车出发后第一次相遇时离A站的路程，

(3)、慢车和快车第一次相遇后，经过多少时间两车再次相遇？

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载重W（kg）	…	10	12	15	20	30	…
v（m/s）	…	6	5	4	3	2	…