几何压轴（胡不归与阿氏圆等模型）-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题

试卷更新日期：2025-06-05 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 如图，菱形 $A B C O$ 的边长为5，对角线 $O B$ 的长为 $4 \sqrt{5}$ ， $P$ 为 $O B$ 上一动点，则 $A P + \frac{\sqrt{5}}{5} O P$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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2. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象交x轴于点 $A (- 3, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，交y轴于点C ．以下结论：① $a + b + c = 0$ ；② $a + 3 b + 2 c < 0$ ；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时， $c = \sqrt{7}$ ；④当 $c = 3$ 时，在 $△ A O C$ 内有一动点P ，若 $O P = 2$ ，则 $C P + \frac{2}{3} A P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{97}}{3}$ ．其中正确结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为5，以 $C$ 为圆心，2为半径作 $⊙ C$ ，点 $P$ 为 $⊙ C$ 上的动点，连接 $B P$ ，并将 $B P$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $B P^{'}$ ，连接 $C P^{'}$ ，在点 $P$ 运动的过程中， $C P^{'}$ 长度的最大值是（）

A、 $5 \sqrt{2} + 2$ B、 $3 \sqrt{2} + 2$ C、 $5 \sqrt{2} - 2$ D、 $3 \sqrt{2} - 2$

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二、填空题

4. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 6, B C = 12,$ 延长BA 至点 E，使 $A E = A B,$ 以AE为边向上作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心.若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交 BC，EF于点 H，I，则线段HI的长为.

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5. 如图，在矩形ABCD 中，AB=11，BC=6，E为AB上一点，且AE=2，F 为AD 边上的一个动点，连接EF，若以EF 为边向右侧作等腰Rt△EFG，EF=EG，连接 CG，则 CG 的最小值为.

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6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - \sqrt{3} x + 3$ 分别与x轴，y轴交于A，B两点，若C为y轴上一动点，则2AC+BC的最小值为.

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7. 如图，正方形ABCD的边长为4，内切圆记为⊙O，P为⊙O上一动点，则 $\sqrt{2} P A +$ PB的最小值为.

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8. 如图，在矩形ABCD中， $A B =$ 18， $B C = 25,$ 点P是矩形内部一点，且 $A P =$ 15，连接 PC，PD，则 $P C + \frac{3}{5} P D$ 的最小值为.

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三、解答题

9.

(1)、如图①，点E为矩形ABCD 内一点，请过点E作一条直线，将矩形ABCD 的面积分为相等的两部分，并说明理由；

(2)、如图②，在矩形ABCD中， $A B = 4, B C = 3,$ P为对角线AC上一点，且 $A C = 3 A P,$ 请问在边CD上是否存在一点 E，使得直线 PE将矩形ABCD 的面积分为2：3两部分?若存在，求出DE的长；若不存在，请说明理由.

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四、实践探究题

10.

(1)、初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；

(2)、结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；

(3)、拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．

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11. 问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+ $\frac{1}{2}$ BP的最小值．

(1)、尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有 $\frac{C D}{C P}$ = $\frac{C P}{C B}$ = $\frac{1}{2}$ ，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴ $\frac{P D}{B P}$ = $\frac{1}{2}$ ， ∴PD= $\frac{1}{2}$ BP，∴AP+ $\frac{1}{2}$ BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+ $\frac{1}{2}$ BP的最小值为．

(2)、自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3， $\frac{1}{3}$ AP+PC的最小值为．

(3)、拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是 $\overset{⌢}{C D}$ 上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．

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12. 问题提出：如图1，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}, C B = 4, C A = 6$ ， $⊙ C$ 半径为2，P为圆上一动点，连接AP，~BP，求 $A P + \frac{1}{2} B P$ 的最小值．

(1)、尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点 $D$ ，使 $C D = 1$ ，则有 $\frac{C D}{C P} = \frac{C P}{C B} = \frac{1}{2}$ ，又 $∵ ∠ P C D = ∠ B C P, ∴ △ P C D ~ △ B C P . ∴ \frac{P D}{B P} = \frac{1}{2}$ ， $∴ P D = \frac{1}{2} B P, ∴ A P + \frac{1}{2} B P = A P + P D$ ．
请你完成余下的思考，并直接写出答案： $A P + \frac{1}{2} B P$ 的最小值为

(2)、自主探索：在＂问题提出＂的条件不变的情况下， $\frac{1}{3} A P + B P$ 的最小值为．

(3)、拓展延伸：已知扇形COD中， $∠ C O D = 9 0^{°}, O C = 6, O A = 3, O B = 5$ ，点 $P$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 上一点，求 $2 P A + P B$ 的最小值．

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