2025届甘肃省高三下学期3月（一模）数学试卷

试卷更新日期：2025-03-19 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $- 1 + (1 - a^{2}) i$ 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > - 1$ B、 $a < - 1$ 或 $a > 1$ C、 $- 1 < a < 1$ D、 $a < 1$

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2. 设集合 $A = \{x | y = \sqrt[3]{1 - x}\}, B = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $R$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $(- 1, 2]$

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3. 某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为 $W_{0}$ （单位： $\frac{mg}{L}$ ），测得污水通过长度为 $l$ （单位： $m$ ）的净化装置后污染物的含量 $W$ 如下表：
$l$
0
1
2
3
$W$
$W_{0}$
$0.5 W_{0}$
$0.25 W_{0}$
$0.125 W_{0}$
研究小组的同学根据表格数据建立了 $W$ 关于 $l$ 的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（）

A、 $W = W_{0} + 0.5 l$ B、 $W = W_{0} \cdot {log}_{0.5} (l + 1)$ C、 $W = 0.5 W_{0} l$ D、 $W = W_{0} \cdot {(0.5)}^{l}$

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4. 高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动，答题后随机抽取22名男生和18名女生，计算得男生的平均得分为82分，女生的平均得分为80分，则估计本次比赛高一年级的总体均分为（）

A、81.8 B、81.5 C、81.1 D、80.8

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5. 从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（）

A、84 B、120 C、504 D、720

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6. 若 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ， $sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{4}{5}$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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7. 已知梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $/ /$ $C D, A B = 2 B C = 2 C D = 2 A D = 4$ ，点 $M$ 为边 $C D$ 上的动点，若 $∠ A M B = α$ ，则 $cos α$ 的范围是（）

A、 $[0, \frac{1}{7}]$ B、 $[- \frac{1}{7}, 1]$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{1}{7}]$ D、 $[- \frac{1}{7}, 0]$

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8. 已知 $A$ 是抛物线 $y^{2} = 16 x$ 上一点， $F$ 为抛物线的焦点，直线 $\frac{x}{4} + \frac{y}{b} = 1$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ， $\vec{P F} \cdot \vec{P A} = 0$ ，点 $B$ 为线段 $A F$ 的中点，则 $\cos ∠ A P B =$ （）

A、 $\sqrt{\frac{b^{2}}{4 + b^{2}}}$ B、 $\sqrt{\frac{b^{2}}{16 + b^{2}}}$ C、 $\sqrt{\frac{16}{16 + b^{2}}}$ D、 $\frac{b}{4 + b}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，则（）

A、双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、双曲线的离心率是 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C、双曲线的虚轴长是8 D、双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6

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10. 函数 $f (x) = 2 cos x + sin 2 x (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、 $f (x)$ 的值域是 $[- \frac{3 \sqrt{3}}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}]$ C、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是 $x = \frac{π}{6}$ D、 $f (x)$ 的零点是 $\frac{π}{2} + k π, k \in Z$

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11. 若自变量 $x$ 表示时间，在长为定值 $T$ 的时间周期 $[u, u + T]$ 中，函数 $y = f (x)$ 的增长率为 $g (u) = \frac{f (u + T) - f (u)}{f (u)}$ ，以下判断正确的是（）

A、若 $f (x) = 3 x, x \in (0, + \infty)$ ，则 $g (u)$ 为减函数 B、若 $f (x) = 3^{x}, x \in (0, + \infty)$ ，则 $g (u)$ 为增函数 C、若 $f (x) = 3 x^{2}, x \in (0, + \infty)$ ，则 $g (u)$ 为增函数 D、若 $f (x) = ln x, x \in (1, + \infty)$ ，则 $g (u)$ 为减函数

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 用一个平面截正方体，截面形状为正六边形，则截出的两部分几何体的体积之比是.

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13. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = 20$ ， $S_{7} = 56$ ，则数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} =$ .

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14. 如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的 $\frac{1}{4}$ 圆周，内弧半径为 $12$ 米，路宽为 $3$ 米，两人均从外弧 $A$ 点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点 $C$ ，又沿内弧 $C B$ 跑至点 $B$ 处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上 $D$ 点处，再沿外弧 $D E$ 跑至点 $E$ 处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是（填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝对值约为米.（结果精确到 $0.1$ 米，参考数据： $\sin 37^{\circ} \approx 0.6$ ， $π \approx 3$ ）

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1，2的频率分布直方图，并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分.

(1)、依据频率分布直方图，完成以下 $2 \times 2$ 列联表：

成绩不低于总体均分
成绩低于总体均分
合计
每天整理错题

未每天整理错题

合计

(2)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析数学成绩不低于总体均分是否与每天整理数学错题有关.
附 $: X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.10
0.01
0.001
$χ_{α}$
2.706
6.635
10.828

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16. 正四面体 $P - A B C$ 的三条棱 $P A, P B, P C$ 是圆锥 $P O$ 的三条母线，点 $A, B, C$ 在圆锥 $P O$ 的底面内，过 $P A$ 且与圆锥 $P O$ 底面垂直的平面与圆锥侧面交于 $P D$ （不同于 $P A$ ）.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P B D$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值.

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17. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1}^{2} = \frac{1}{a_{n}}, a_{1} = 2$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = ln a_{2 n - 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，并求其通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = ln a_{n}, S_{n}$ 是数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，对 $\forall n \in N^{*}, S_{2 n} < k$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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18. 设 $O$ 为坐标原点，点 $P (2, 4)$ ， $A$ 、 $B$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的两个动点， $\vec{O P} = λ (\vec{O A} + \vec{O B}) (λ \in R)$ .

(1)、证明：向量 $\vec{m} = (1, 4)$ 是直线 $A B$ 的一个法向量；

(2)、若线段 $O P$ 与椭圆交于点 $Q$ ，求 $△ A B Q$ 面积的最大值.

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19. 函数 $f (x) = {(1 + x)}^{r} - r x - 1 (x > - 1$ ，且 $r > 0)$ .

(1)、 $r \neq 1$ 时，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，判断 $2 {cos}^{2} θ$ 与 ${(\frac{1}{n} cos 2 θ + 1)}^{n}$ 的大小 $(n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2)$ ，并说明理由；

(3)、证明：对于任意的 $n \in N^{*}, θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，有 $({sin}^{2} θ + {sin}^{3} θ + \dots + {sin}^{2 n} θ + {sin}^{2 n + 1} θ) + ({cos}^{2} θ + {cos}^{3} θ + \dots + {cos}^{2 n} θ + {cos}^{2 n + 1} θ) \geq (\sqrt{2} + 2) (1 - \frac{1}{2^{n}})$ .

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	成绩不低于总体均分	成绩低于总体均分	合计
每天整理错题
未每天整理错题
合计

$l$	0	1	2	3
$W$	$W_{0}$	$0.5 W_{0}$	$0.25 W_{0}$	$0.125 W_{0}$

$α$	0.10	0.01	0.001
$χ_{α}$	2.706	6.635	10.828