湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期数学模拟试卷（二）

试卷更新日期：2025-05-15 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集 $U = A \cup B = {x \in N | 0 \leq x \leq 4}$ ， $A \cap (∁_{U} B) = {1, 2, 3}$ ，则集合 $B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{0, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

查看试题解析
2. “ $\sin θ \cdot \cos θ > 0$ ”是“ $θ$ 为第一象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
3. 在复平面内，O为坐标原点，复数 $1 - i$ ， $- 1 + 2 i$ 对应的向量分别是 $\vec{O M}$ ， $\vec{O N}$ ，则 $\vec{M N}$ 对应的复数为（）

A、 $- 2 + 3 i$ B、 $i$ C、 $2 - 3 i$ D、 $- i$

查看试题解析
4. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增，若实数a满足 $f (2^{|a - 1|}) > f (- \sqrt{2})$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$

查看试题解析
5. 某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 $N (105, σ^{2})$ （ $σ > 0$ ），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的 $\frac{1}{5}$ ，则此次数学考试成绩在90分到105分（含90分和105分）之间的人数约为（）

A、150 B、200 C、300 D、400

查看试题解析
6. 已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，以其底面圆心为球心，底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为（）

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $(4 + 2 \sqrt{3}) π$ D、 $6 π$

查看试题解析
7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $3 S_{n} = a_{n} + 64$ ．若 $T_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积，则 $T_{n}$ 的最大值为（）

A、 $2^{9}$ B、 $2^{14}$ C、 $2^{15}$ D、 $2^{16}$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} e^{x}, x < 1 \\ \frac{e^{x}}{x^{2}}, x \geq 1 \end{matrix}$ ，方程 ${[f (x)]}^{2} - a^{2} f (x) = 0$ （ $a > 0$ ）有两个不等实根，则下列选项正确的是（）

A、2是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $h (x) = f (x) - x$ 无零点 C、a的取值范围是 $(\frac{2}{e}, \frac{e}{2}) \cup [\sqrt{e}, + \infty)$ D、 $\exists x_{1} \in (0, 1)$ ， $x_{2} \in (1, 3)$ ，使 $f (x_{1}) > f (x_{2})$

查看试题解析

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $\sin β + \cos β = \frac{1}{5}$ ， $β \in (0, π)$ ，则下列各式正确的有（）

A、 $\sin 2 β = - \frac{24}{25}$ B、 $\sin β - \cos β = \pm \frac{7}{5}$ C、 $\cos 2 β = \frac{7}{25}$ D、 $\tan β = - \frac{4}{3}$

查看试题解析
10. 甲箱中有 $5$ 个红球， $2$ 个白球和 $3$ 个黑球，乙箱中有 $4$ 个红球， $3$ 个白球和 $3$ 个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以 $A_{1}, A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 $B$ 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则（）

A、事件 $B$ 与事件 $A_{3}$ 相互独立 B、 $P (A_{1}| B) = \frac{5}{9}$ C、 $P (A_{2} B) = \frac{6}{55}$ D、 $P (B) = \frac{9}{22}$

查看试题解析
11. 已知P为抛物线C： $x^{2} = 4 y$ 上一点，F为C的焦点，直线l的方程为 $3 x + 4 y + 6 = 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $A (3, 4)$ ，则 $| A P | + | P F | \geq 5$ B、点P到直线l与到直线 $y = - 2$ 的距离之和的最小值为2 C、若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2}$ 相切，则r的取值范围为 $r \geq \sqrt{6}$ D、过直线l上一点E（点E不在x轴上）作抛物线的两条切线，切线分别交x轴于点A，B， $△ E A B$ 外接圆面积的最小值为 $π$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知圆台上下底面半径分别为 $1$ 和 $2$ ，母线与下底面所成角为 $60^{\circ}$ ，则圆台侧面积为．

查看试题解析
13. 若函数 $f (x) = 5 \sin (x + θ) + 12 \cos (x + θ)$ 为奇函数，则 $\tan θ =$ ．

查看试题解析
14. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} - y^{2} = 1$ ， $A, B$ 分别是 $C$ 的左、右顶点，P是双曲线 $C$ 上与 $A, B$ 不重合的一动点，直线 $P A, P B$ 与 $x = 1$ 交于 $M, N$ 两点， $△ P M N$ ， $△ P A B$ 的外接圆半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，则 $\frac{r_{1}}{r_{2}}$ 的最小值为．

查看试题解析

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 5$ ， $∠ B A C = 60 °$ ．

(1)、求 $\sin ∠ A C B$ ；

(2)、设BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求 $\cos ∠ M P N$ ．

查看试题解析
16. 甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是 $\frac{1}{9}$ ，甲投中而丙未投中的概率是 $\frac{1}{6}$ ，乙投中而丙未投中的概率是 $\frac{1}{6}$ .

(1)、请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由；

(2)、现将投篮水平较低的两人组成一组（记为 $A$ ），与投篮水平较高的人（记为 $B$ 组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮 $2$ 次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求 $B$ 组获胜的概率.

查看试题解析
17. 三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $C A = C B = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = \sqrt{10}$ ．点P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点．

(1)、求PB与平面PCE所成角的正弦值；

(2)、设AB靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线AB的两侧，满足 $| D E | + | D F | = 4$ ．试探究是否存在点D使得平面 $P B D ⊥$ 平面PBC？若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = x (x - a \ln x - \frac{1}{x})$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $0 \leq a \leq 2$ ，试判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ）．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）若存在正整数M，使得 $a x_{1} + x_{3} \geq M$ 恒成立，求M的最大值．

查看试题解析
19. 对于有穷数列 $A_{0}$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ，若存在 $i, j \in {1, 2, 3, \dots, n}$ ，使得 $a_{i} - a_{j} \geq 2$ ，则将数列 $A_{0}$ 进行操作变换T：将 $a_{i}$ 减1， $a_{j}$ 加1，其余项不变，得到数列 $A_{1}$ ，记为 $A_{1} = T (A_{0})$ ．从 $A_{0}$ 开始进行 $m$ 次操作变换 $T$ ，依次得到数列 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{m}$ ，即 $A_{i} = T (A_{i - 1})$ ， $i = 1, 2, \dots, m$ ．

(1)、已知数列 $A_{0}$ ： $- 2$ ， $0$ ， $1$ ， $3$ ，是否可以通过 $m$ 次操作变换 $T$ 得到如下数列？
① $- 4$ ， $2$ ， $1$ ， $2$ ；② $0$ ， $0$ ， $0$ ， $2$ ，
若可以，请写出一种满足题意的 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{m}$ ；若不可以，请说明理由；

(2)、已知数列 $A_{0}$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 是公差为 $1$ 的等差数列，若从 $A_{0}$ 开始进行 $m$ 次操作变换 $T$ 后得到数列 $A_{m}$ ： $3$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ，求 $m$ 的所有可能值．

(3)、已知数列 $A_{0}$ ： $1$ ， $2$ ， $\dots$ ， $20$ ，将数列 $A_{0}$ 进行 $m$ 次操作变换 $T$ ，直到这种操作不能再进行时为止，求 $m$ 的最大值．

查看试题解析