《四边形的综合》精选压轴题—浙江省八（下）数学期末复习

试卷更新日期：2025-06-04 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，点 $F$ 在 $C D$ 的延长线上， $A D$ 平分 $∠ E A F$ ，若要知道 $△ A E F$ 的面积，则需要知道（）

A、 $C E$ 的长 B、矩形 $A B C D$ 的面积 C、 $△ A D F$ 的面积 D、 $∠ E A F$ 的度数

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2. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，O为 $A C$ 的中点，过点O作 $A C$ 的垂线，分别交 $D C$ 于点F，交 $A B$ 于点E，G是 $A E$ 的中点，且 $∠ A O G = 30 °$ ，有下列结论：① $D C = 3 O G$ ；② $O G = \frac{1}{2} B C$ ；③连结 $A F$ ， $C E$ ，四边形 $A E C F$ 为菱形；④ $S_{△ A O E} = \frac{1}{6} S_{矩形 A B C D}$ 其中正确的是（　　）

A、②③ B、③④ C、①②④ D、①③④

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3. 如图，矩形ABCD中， $A B = 3, A D = 5, E, F$ 分别是边AD，BC的中点， $C P ⊥ B E$ 于P，DP的延长线交AB于 $G$ .下列结论：① $P F = 2.5$ ；② $P F ⊥ D G$ ；③ $P G = \frac{25}{12}$ .其中结论正确的有（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $E$ ， $F$ 是对角线 $A C$ 上的两点， $A E = C F = 2$ ，点 $P$ 在边 $A D$ 上运动（不与点 $A$ ， $D$ 重合），连结点 $P$ 与 $A C$ 的中点 $O$ 并延长交 $B C$ 于点 $Q$ ，连结 $P E$ ， $P F$ ， $Q E$ ， $Q F$ ．在点 $P$ 从点 $D$ 运动到点 $A$ 的整个过程中，四边形 $P E Q F$ 的形状变化依次是（）

A、平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B、平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 C、平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D、平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形

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5. 小明同学为班级设计如图所示的班徽， $O$ 为正方形 $A B C D$ 的中心，四块全等的阴影图形均为菱形．若 $A$ ， $E$ ， $F$ 三点共线，则图中阴影面积与空白面积之比为（）

A、 $1 : \sqrt{2}$ B、 $2 : 3$ C、 $1 : \sqrt{3}$ D、 $1 : 2$

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2, B C = 5$ ，点 $E, F$ 分别在边 $B C, A D$ 上. 连接 $A E, E F, F C$ ，若 $E A$ 平分 $∠ B E F$ ，四边形 $A E C F$ 是平行四边形，则 $B E$ 的长为 ( )

A、 $\frac{5 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5} \pm 1}{2}$ C、 $\frac{5 \pm \sqrt{13}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5} \pm 2}{2}$

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7. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 为钝角，以 $A B$ 为边向外作 $□ A B D E, ∠ A B D$ 为钝角，连结 $C E, C D$ 。设 $△ C D E$ ， $△ A C E, △ B C D$ 的面积分别为 $S, S_{1}, S_{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积可表示为 ( )

A、 $S + S_{1} + S_{2}$ B、 $S + S_{1} - S_{2}$ C、 $S - S_{1} + S_{2}$ D、 $S - S_{1} - S_{2}$

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8. 在菱形 $A B C D$ 中，点O为对角线 $B D$ 的中点，点E、F分别为线段 $A B$ 、 $A D$ 上的点， $E O$ 的延长线交线段 $C D$ 于点H， $F O$ 的延长线交线段 $C B$ 于点 G，连接 $E G$ 、 $G H$ 、 $H F$ 、 $F E$ ，以下结论：① $E F = G H$ ；②若 $E G ⊥ B D$ ，则 $A E = C G$ ；③存在无数个点E，使得四边形 $E F H G$ 为菱形；④若四边形 $E F H G$ 为矩形，则 $A E = A F$ ．其中正确的结论是（）

A、①②③ B、③④ C、①②④ D、①②③④

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9. 在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，连接对角线 $A C, A C ⊥ A B$ ，点 $E$ 为边 $A B$ 上一点，连接 $C E, C E$ 平分 $∠ A C B$ ， $A C$ 与 $D E$ 交于点 $F$ ，若点 $F$ 恰为 $D E$ 中点，且 $A D = 5, C D = 7$ ，则 $D E =$ （）

A、 $\sqrt{74}$ B、 $\sqrt{97}$ C、11 D、12

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10. 如图，矩形ABCD中， $A B = 3, A D = 5, E, F$ 分别是边AD，BC的中点， $C P ⊥ B E$ 于P，DP的延长线交AB于 $G$ ．下列结论：① $P F = 2.5$ ；② $P F ⊥ D G$ ；③ $P G = \frac{25}{12}$ ．其中结论正确的有（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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二、填空题

11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B C = 4$ ，点 $E, F$ 分别在边 $A D, D C$ 上，把 $△ D E F$ 沿 $E F$ 折叠， $D$ 点恰好落在边 $B C$ 上的 $G$ 点处，连接 $E G, F G$ ，延长 $F E$ 交 $B A$ 的延长线于点 $H$ ，若 $A H = C F, A E = 1$ ，则 $A B =$ .

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12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6．点P ，点Q同时从点A出发，沿AB方向匀速运动，点P的速度为1，点Q的速度为3，点Q到达点B时停留在点B ，待点P继续运动到点B时结束运动．设运动时间为t ，已知当t＝1时，线段DC上有一点M ，使四边形PQMD是菱形．若运动过程中，线段DC上另有一点N ，使四边形PQND是菱形，则此时t＝．

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13. 正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用．如图1为某园林石窗，其外框为边长为6的正方形 $A B C D$ （如图2），点E，F，G，H分别为边上的中点，以四边形 $E F G H$ 各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如 $△ I J K$ ），四个等边三角形的顶点恰好是正方形MNPQ各边的中点，则点H，M之间的距离是．

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14. 如图，正方形纸片 $A B C D$ 的边长为6．E，F分别是对边 $A D$ ， $B C$ 上的点， $A E = C F$ ．把正方形纸片沿着直线 $E F$ 对折，点C，D的对应点分别是点 $C^{'}$ ， $D^{'}$ ．若 $A E = 2$ ，则交叠而成的五边形 $E F G H J$ 的周长是．

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15. 如图 1，在四边形 $A B C D$ 中，依次取四边中点 $E, F, H, G$ ，连结 $E G, F H \circ P$ 是线段 $E G$ 上的一点，连结 $A P$ ，作 $C Q / / A P$ 交 $F H$ 于点 $Q$ 。分别沿 $F H, E G, A P, C Q$ 将四边形 $A B C D$ 裁剪成五块，再将它们拼成四边形 $M N R S$ 。

(1)、 $\frac{E G}{M N} =$ 。

(2)、如图 2，连结 $A C, B D$ 交于点 $O$ ，若 $A C = 8, B D = 6, ∠ A O D = 45^{\circ}$ ，则四边形 $M N R S$ 的周长最小值是。

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三、综合题

16. 如图 $(1)$ ，已知矩形 $A B C D$ ，点 $E ， G$ 分别是矩形边 $A D ， B C$ 上的一点，且 $A E = C G ， △ A B E 与 △ D C G$ 分别沿 $B E ， D G$ 翻折得到 $△ F B E 与 △ D H G ； E F$ 所在的直线交直线 $D H 于 N$ 点， $G H$ 所在的直线交直线 $B F 于 M$ 点．

(1)、求证：四边形 $M H N F$ 是矩形．

(2)、若 $A D = \sqrt{2} A B$ ，且 $∠ M B G = 45 ° .$ 判断四边形 $M H N F$ 的形状，并说明理由．

(3)、如图 $(2)$ ，若点 $F 是 D G$ 的中点 $.$ 试探求 $H D 与 E F$ 的数量关系，并加以说明．

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17. 四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $E$ 为线段 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ D E$ ，交射线 $B C$ 于点 $F$ ，以 $D E, E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ，连接 $C G$ ．

(1)、如图，求证：矩形 $D E F G$ 是正方形；

(2)、若 $A B = 3$ ， $C E = 2 \sqrt{2}$ ，求 $C G$ 的长度；

(3)、当线段 $D E$ 与正方形 $A B C D$ 的某条边的夹角是 $30 °$ 时，求 $∠ E F C$ 的度数．

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18. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 cm$ ， $B C = 10 cm$ ，点 $E$ 从点 $B$ 出发沿 $B C$ 方向运动，运动到点 $C$ 停止，同时，点 $F$ 从点 $D$ 出发沿 $D A$ 方向运动，运动到点 $A$ 停止，点 $E$ ， $F$ 的速度均为 $1 cm / s$ ．设点 $E$ ， $F$ 运动的时间为 $t s$ ．

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 为平行四边形；

(2)、当 $t$ 为何值时，平行四边形 $B E D F$ 为菱形？

(3)、如图2，连接 $A E$ ， $C F$ ，分别交 $B F$ ， $D E$ 于点 $H$ ， $G$ ．随着点 $E$ ， $F$ 的运动，请回答下列问题：
①当 $t =$ ______时， $S_{四边形 E G F H}$ 取得最大值，此时四边形 $E G F H$ 为______（填“邻边不等的矩形”，“内角不为 $90 °$ 的菱形”，“正方形”）；
②如图3，连接 $A G$ ， $D H$ ， $S_{△ A E G} + S_{△ D H E}$ 的值是否有变化？若不变，求出相应的值，若改变，请说明理由．

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19. 如图1，在矩形ABCD中， $\frac{A D}{A B} =$ k，E为CD边的中点，连接AE，延长AE交BC的延长线于F点，在BC边上取一点G，连接AG，使AF为∠DAG的角平分线．

(1)、求证：GE⊥AF；

(2)、如图2，若k＝1，求 $\frac{C G}{B G}$ 的值；

(3)、若点G将BC边分成1：2的两部分，直接写出k的值．

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20. 如图1，将矩形纸片 $O A B C$ 放置在如图所示的平面直角坐标系内，点 $O$ 与坐标原点重合，点 $B$ 的坐标为 $(5, 3)$ ，折叠纸片使点 $B$ 落在 $x$ 轴上的点 $D$ 处，折痕为 $M N$ ，过点 $D$ 作 $y$ 轴的平行线交 $M N$ 于点 $E$ ，连接 $B E$ ．

(1)、求证：四边形 $B E D M$ 为菱形；

(2)、如图2，当点 $N$ 与点 $A$ 重合时，求点 $E$ 的坐标；

(3)、如图3，在(2)的条件下，点 $P$ 是线段 $O C$ 上一动点，点 $Q$ 是线段 $O A$ 上一动点，过点 $M$ 的反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象与线段 $A B$ 相交于点 $F$ ，连接 $P M$ ， $P Q$ ， $F M$ ， $Q F$ ，当四边形 $P M F Q$ 的周长最小时，求点 $P$ ，点 $Q$ 的坐标．

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21. 如图 $1$ ，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{2} ∶ y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与直线 $l_{1} ∶ y = k x + b$ 交于点 $C ， C$ 点到 $x$ 轴的距离 $C D$ 为 $2 \sqrt{3}$ ，直线 $l_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $A ， ∠ C A B = 60^{\circ}$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 的函数表达式；

(2)、如图 $2$ ，点 $P$ 为线段 $A B$ 上一点，将 $△ A C P$ 沿 $C P$ 折叠后，点 $A$ 恰好落在 $B C$ 边上，求 $P$ 点坐标；

(3)、如图 $3$ ，将 $△ A C B$ 绕点 $B$ 逆时针方向旋转 $60^{\circ}$ ，得到 $△ B G H$ ，使点 $A$ 与点 $H$ 对应，点 $C$ 与点 $G$ 对应，将 $△ B G H$ 沿着直线 $B C$ 平移，点 $M$ 为直线 $A C$ 上的动点，是否存在以 $C 、 O 、 M 、 G$ 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 如图，在▱ $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $B C$ 上一点，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠后，点 $B$ 的对应点为点 $F$ ．

(1)、如图 $1$ ，当点 $F$ 恰好落在边 $A D$ 上时，求证：四边形 $A B E F$ 是菱形．

(2)、如图 $2$ ，当点 $F$ 恰好落在 $E D$ 上，且 $\frac{B E}{E C} = m$ 时，求 $\frac{D F}{F E}$ 的值．

(3)、如图 $3$ ，当 $∠ A B C = 45 °$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 4$ 时，连结 $B D$ ，下列三个问题，依次为易、中、难，对应的满分值为 $2$ 分、 $3$ 分、 $4$ 分，根据你的认知水平，选择其中一个问题求解．
①当 $A F ⊥ B C$ 时，求 $B E$ 的长．
②当 $E F / / B D$ 时，求 $B E$ 的长．
③当点 $F$ 恰好落在 $B D$ 上时，求 $B E$ 的长．

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23. 在 $△ A B C$ 中，B在C的左边， $B A = B C = 3$ ，将 $△ A B C$ 关于 $A C$ 作轴对称，得四边形 $A B C D$ ． P是对角线 $A C$ 上的动点，E是直线 $B C$ 上的动点，且 $P E = P B$ ．

(1)、四边形 $A B C D$ 如图1所示，四边形 $A B C D$ 是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）； $∠ D P E$ ______ $∠ A B C$ （填“ $=$ ”或“ $\neq$ ”）；

(2)、四边形 $A B C D$ 如图2所示，且 $∠ A B C = 90 °$ ，四边形 $A B C D$ 是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中 $∠ D P E$ 与 $∠ A B C$ 之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由．

(3)、四边形 $A B C D$ 如图3所示，若 $∠ A C B = α$ ， $∠ P E B = β$ ，请直接写出 $∠ D P B$ 的度数．（用含 $α$ 、 $β$ 的代数式表示）

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24. 如下图，在矩形ABCD中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，点P从点B出发，沿 $B C - C D$ 向点D运动，作 $△ A C D$ 关于直线AP的对称 $△ A C^{'} D^{'}$ （点C ， D的对称点分别为 $C^{'}$ ， $D^{'}$ ）.

(1)、如下图，当点 $C^{'}$ 在AB的延长线上时，连结 $C C^{'}$ ，求 $C C^{'}$ 的长.

(2)、如下图，当点P与点C重合时，连结 $D D^{'}$ ， $C D^{'}$ 、 $D D^{'}$ 交AB分别于点E、F.
①求证： $∠ D^{'} F E = ∠ E D^{'} F$ ；
②求EF的长.

(3)、当直线 $C^{'} D^{'}$ 经过点B时，求CP的长.

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四、实践探究题

25. 【问题背景】
如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 6$ ，点 $E$ 是边 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ，点 $F 、 G$ 是线段 $A E$ 上的动点，连接 $B F ， D G$ ，且满足 $D G ∥ B F$ ．
【初步尝试】
（1）如图 2，当四边形 $A B C D$ 是正方形时，若 $B F ⊥ A E$ ，则 $D G =$ ____， $B F =$ ______．
【猜想验证】
（2）如图3，同学们在研究图形时发现，若取线段 $B F$ 的中点 $H$ ，可得 $\frac{D G}{B F}$ 始终为定值．请你猜想这个定值是多少？并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图 3，在（2）的基础上，若 $A B = 4 \sqrt{5} ， F G = 2$ ，当四边形 $F H G D$ 是菱形时，求菱形 $F H G D$ 的边长．

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26. 折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法．深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考，用数学的语言描述，提升同学们的综合素养．
【操作发现】
如图，一张菱形纸片ABCD，∠ABC=60°，AB=6cm，E，F分别为边AD，BC上的两个动点，小明将菱形纸片沿着EF翻折，得到四边形A'B'FE，点A，B的对应点分别为点A^' ， B^' ．他发现了：点E从点A开始运动到点D结束的过程中，总能找到一个点F，使得点A^' ， C，B^'三点在同一直线上．

【深入探究】

操作	探究内容	图形
操作一	当点E位于AD中点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着EF翻折后，使得点D，A^' ， C，B'四个点在同一直线上.
操作二	将菱形纸片沿着EF翻折后，使得点A'，C，B'三点在同一直线上，且得到△B'CF是直角三角形.
操作三	当当点E位于AD靠近点D的三等分点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着EF翻折后，使得点A'，C，B^'三点在同一直线上，且A^'E与CD交于点G.

【解决问题】

(1)、根据操作一探究内容，求证：

A B = E F

；

(2)、根据操作二探究内容，当

△ B^{^{'}} C F

为直角三角形时，求

B F

的长度；

(3)、根据操作三探究内容，直接写出

C G

的长度.

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27. 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽 $A D = 6$ ．

动手实践：
（1）如图1，A小组将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，点D落在 $A B$ 边上的点E处，折痕为 $A F$ ，连接 $E F$ ，然后将纸片展平，得到四边形 $A E F D$ ．试判断四边形 $A E F D$ 的形状，并加以证明．
（2）如图2，B小组将矩形纸片 $A B C D$ 对折使 $A B$ 与 $D C$ 重合，展平后得到折痕 $P Q$ ，再次过点A折叠使点D落在折痕 $P Q$ 上的点N处，得到折痕 $A M$ ，连结 $M N$ ，展平后得到四边形 $A N M D$ ，请求出四边形 $A N M D$ 的面积．
深度探究：
（3）如图 3，C小组将图1中的四边形 $E F C B$ 剪去，然后在边 $A D ， E F$ 上取点G，H，将四边形 $A E F D$ 沿 $G H$ 折叠，使A点的对应点 $A^{'}$ 始终落在边 $D F$ 上（点 $A^{'}$ 不与点D，F重合），点E落在点 $E^{'}$ 处， $A^{'} E^{'}$ 与 $E F$ 交于点T．
探究①当 $A^{'}$ 在 $D F$ 上运动时， $△ F T A^{'}$ 的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值．
探究②直接写出四边形 $G A E H$ 面积的最小值．

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28. 问题：如图， $E ， F ， G ， H$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 上的点，依次连接它们得到四边形 $E F G H$ ，探究四边形 $E F G H$ 周长的最小值．
探究：
（ $1$ ）如图 $1$ ， $H ， F$ 分别是边 $A D$ 和 $B C$ 上点，在边 $C D$ 上作一点 $G$ ，使得 $G H + G F$ 的值最小，并证明 $∠ D G H = ∠ C G F$ （用没有刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（ $2$ ）如图 $2$ ，求证；当四边形 $E F G H$ 的周长最小时，它是平行四边形．
（ $3$ ）如图 $2$ ，若矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，求四边形 $E F G H$ 周长的最小值．
拓展：如图 $3$ ，四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $C B = C D$ ， $A B ⊥ C B$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，直接写出四边形 $A B C D$ 的内接四边形 $E F G H$ 周长的最小值．

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