《正方形》精选压轴题—浙江省八（下）数学期末复习

试卷更新日期：2025-06-04 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图1是由8个同样大小的正方形组成的纸片，我们只需要剪两刀，将它分成三块，就可以拼成一个大正方形（如图2、图3）．由5个同样大小的正方形组成的纸片（如图4），现要剪拼成一个大正方形，则需要在图4的纸片中最少剪（）

A、1刀 B、2刀 C、3刀 D、4刀

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2. 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形 $A B C D$ ，中间是一个小正方形 $E F G H$ ，连接 $D E$ ，并延长交 $B C$ 于点 $I$ ，若 $H$ 是 $A E$ 的中点， $A B = 5$ ，则 $E I$ 的长（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（ $△ A B E$ ， $△ B C F$ ， $△ C D G$ ， $△ D A H$ ）和一个小正方形 $E F G H$ 拼成的大正方形 $A B C D$ ．若点 $E$ 是 $A H$ 的中点，连接 $B H$ 并延长交 $C D$ 于点 $I$ ，若 $D I = 1$ ，则线段 $B I$ 的长为（）

A、4 B、5 C、 $\sqrt{15} + 1$ D、 $2 \sqrt{3} + 1$

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4. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E 是 A B$ 边上一个动点 $($ 不与点 $A$ ，点 $B$ 重合 $)$ ，连结 $C E$ ，作 $B F ⊥ C E 交 A D$ 于点 $F$ ，垂足为点 $G$ ，连结 $C F$ ，记 $△ B E G ， △ C D F ， △ C F G ， △ B C G$ ，四边形 $A E G F$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3} ， S_{4} ， S_{5}$ ，方方通过探究，得到以下两个结论： $① S_{1} + S_{2} = S_{3} ， ② S_{4} = S_{5} .$ 则下列选项中，正确的是( )

A、 $① ②$ 都正确 B、 $① ②$ 都错误 C、 $①$ 正确 $②$ 错误 D、 $①$ 错误 $②$ 正确

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5. 将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 $A B C D$ ，记 $△ A E D$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $E F C G$ 的面积为 $S_{2}$ ．若 $E G ∥ C F$ ， $E G = 4, \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{6}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $3$ ，点 $E$ 在 $C D$ 上且 $C E = 1$ ，点 $F 、 P$ 分别为线段 $B C 、 A D$ 上的动点，连接 $B E$ ， $B P$ ， $F P$ ， $E F$ ．若在点 $F 、 P$ 的运动过程中始终满足 $P F ⊥ B E$ ，则 $B P + E F$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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7. 如图，点 $E 、 F$ 分别是正方形 $A B C D$ 的边 $A D 、 B C$ 上的点，将正方形沿 $E F$ 折叠，使得点 $B$ 的对应点 $H$ 在边 $C D$ 上，若已知三角形 $D G H$ 的周长，则可以求出下列哪个数据（）．

A、三角形 $H F C$ 的周长 B、三角形 $I E G$ 的周长 C、三角形 $D G H$ 的面积 D、正方形 $A B C D$ 的面积

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为1的正方形，点E，F分别在 $B D ， A B$ 上，连结 $C E ， E F$ ，当 $C E = E F$ ， $∠ A F E = 2 ∠ E C D$ 时， $C E$ 的长（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

9. 如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点， $C F = 8$ ，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点 $A^{'}$ ， $D^{'}$ 处，当点 $D^{'}$ 落在直线BC上时，线段AE的长为．

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $E$ 是 $B C$ 边上的动点（ $E$ 可以和 $B, C$ 重合），连接 $D E$ ， $A E$ ，过 $D$ 点作 $A E$ 的垂线交线段 $A B$ 于点 $F$ ，现以 $D F$ ， $D E$ 为邻边构造平行四边形 $D F G E$ ，连接 $B G$ ，则 $B G$ 的最小值是．

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11. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为 $6$ ，点 $E$ 是线段 $B C$ 上一点，且 $B E = 2$ ，点 $F$ 是直线 $C D$ 上一动点，以 $E F$ 为边作正方形 $E F G H$ （ $E ， F ， G ， H$ 逆时针排列），连接 $H A$ ，直线 $H A$ 与直线 $C D$ 交于点 $P$ ．若点 $A ， H ， P$ 中的其中一点到其余两点距离相等，则 $E F$ 的长为．

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12. 正方形工整、匀称、美观，设计方便，在人们的生活和生产实际中有着广泛的应用.如图 1 为某园林石窗，其外框为边长为 6 的正方形 $A B C D$ (如图 2)，点 $E, F, G, H$ 分别为边上的中点，以四边形 $E F G H$ 各边的三等分点的连线为边，分别向内作等边三角形（如 $A I J K ）$ ，四个等边三角形的顶点恰好是正方形 $M N P Q$ 各边的中点，则点 $H, M$ 之间的距离是。

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13. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $C D$ 的延长线上，连接 $A E$ ， $A F$ ， $E F$ ， $A E$ 与 $C F$ 交于点 $G$ ．已知 $∠ E A F = 45 °$ ， $A B = 3$ ．有以下四个结论：
① $B E - D F = E F$ ；② $∠ A E F = ∠ A E B$ ；③ $G F = G E$ ；④若 $D F = 1$ ，则 $△ A E F$ 的面积为 $7.5$ ．
以上结论中正确的是．

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14. 如图， $O$ 为正方形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 的中点，将 $B C$ 沿着过点 $C$ 的直线 $l$ 翻折，使点 $B$ 的对应点 $E$ 落在正方形的内部，连接 $A E$ ， $B E$ ， $C E$ ， $O E$ ，若 $A E = 2 \sqrt{2}$ ， $B E = 4$ ．则点 $A$ 到直线 $B E$ 的距离为， $O E$ 的长为．

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三、综合题

15. 如图1，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 内部的一点， $D E = D A$ ．连接 $A E$ ， $C E$ ，过点 $C$ 作 $A E$ 的垂线交 $A E$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、猜测 $∠ C E F$ 的度数，并说明理由；

(2)、若 $A E = 2 E F = 4$ ，求正方形 $A B C D$ 的边长；

(3)、如图2，过点 $E$ 作 $A F$ 的垂线交 $C D$ 于点 $H$ ．当 $A F$ 恰好过 $B C$ 的中点 $G$ 时，设正方形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ，用含 $a$ 的代数式表示 $E H$ ．

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16. 四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $E$ 为线段 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ D E$ ，交射线 $B C$ 于点 $F$ ，以 $D E$ 、 $E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ，连接 $C G$ ．

(1)、如图 $1$ ，求证：矩形 $D E F G$ 是正方形；

(2)、若 $A B = 3$ ， $C E = 2 \sqrt{2}$ ，求 $C G$ 的长度；

(3)、当线段 $D E$ 与正方形 $A B C D$ 的某条边的夹角是 $30 °$ 时，求 $∠ E F C$ 的度数．

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17. 如图1，在正方形ABCD中，点P在AB上，连结CP ，过点B作BE⊥CP于点E ，过点D作DF⊥CP于点F ．

(1)、求证：△CBE≌△DCF ．

(2)、如图2，延长CP至点G ，使EG＝EB ，连结BG ， DG ．
①探究线段BG ， CG ， DG之间的数量关系，并说明理由．
②连结AG ，若 $A G = \sqrt{2}$ ， AD＝3，求DG的长．

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18. 如图1，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ 在 $A B$ 上（不与 $A 、 B$ 重合），点 $F$ 在 $B C$ 上（不与 $B 、 C$ 重合）且满足 $A E = B F$ ，连接 $A F 、 D E$ 并交于点 $G$ ．

(1)、请问：线段 $A F$ 与 $D E$ 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

(2)、如图2，连结 $C G$ ，若点 $E$ 为 $A B$ 的中点，求 $△ C G F$ 的周长．

(3)、如图3，延长 $D E$ 至点 $D^{'}$ 使 $D G = G D^{'}$ ，连结 $B D$ ， $B D^{'}$ ．若 $B D^{'} = \sqrt{2}$ ，求 $△ B D D^{'}$ 的面积．

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19. 如图1，点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 内一点， $C P = C B$ ，

(1)、填表∶
$∠ P C B$ 的度数
$30 °$
$x °$
$∠ B P D$ 的度数

(2)、若 $∠ A P D = 90 °$ ，求 $\frac{P A}{P D}$ 的值；

(3)、如图2，作 $C M ⊥ P D$ 于 $H$ ，交 $B P$ 延长线于点 $M$ ，已知 $B C = 5$ ， $B P = \sqrt{2}$ ，求 $A M$ 的长．

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20. 如图，已知 $P$ 是边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 内的一点（不含边界），过点 $P$ 分别作 $M N ∥ A B, E F ∥ B C$ ，交各边于 $E, N, F, M$ ，连接 $A N, F N, A F$ ．记四边形 $P N C F$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $P E A M$ 的面积为 $S_{2}$ ，四边形 $P N B E$ 的面积为 $S_{3}$ ，四边形 $P F D M$ 的面积为 $S_{4}, P E = x, P N = y$ ．

(1)、若 $S_{2} = 4 S_{1}, x = 3 y$ ，求 $\frac{S_{3}}{S_{4}}$ 的值；

(2)、若 $∠ N A F = 45 °$ ，求证： $S_{1} = 2 S_{2}$ ．

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21. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别在边 $A B$ 和 $B C$ 的延长线上(点 $E$ 不与点 $A$ ，点 $B$ 重合)，且 $C F = A E$ ，连接 $D E, D F, E F$ .过点 $D$ 作 $D H ⊥ E F$ 于 $H$ ，连接 $C H$ .

(1)、求证：点 $H$ 是线段 $E F$ 的中点.

(2)、若 $A B = 3, C F = 1$ ，求 $C H$ .

(3)、求证：点 $H$ 始终在正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上.

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22. 含有公共顶点A的正方形 $A B C D$ 和正方形 $A E F G$ 按图1所示放置，连结 $B E ， D G$ ．

(1)、求证： $△ A E B ≌ △ A G D$ ．

(2)、如图2，把图1中的正方形 $A E F G$ 绕点A旋转，边 $E F$ 刚好经过点B，此时对角线 $E G$ 与正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 交于点O，与边 $A B$ 交于点H．
①求证： $B O = D O$ ．
②若 $A E = 3$ ， $A B = \sqrt{10}$ ，请直接写出 $O E$ 和 $O H$ 的长．

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23. 已知正方形 $A B C D$ 的边长是7，点 $E$ 为正方形内一动点．

(1)、当点 $E$ 在对角线 $B D$ 上时．
①如图1，连接 $A E$ ， $C E$ ，求证： $A E = C E$ ．
②若 $A E = 5$ ，点 $F$ 是正方形 $A B C D$ 边上一点，当 $A E = E F$ 时，求线段 $D F$ 的长．

(2)、如图2，若 $B E = 7$ ，点 $P$ 是线段 $B E$ 上一点，当 $B P = 5$ 时，求 $D E + C P$ 的最小值．

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24. 如图1，四边形 $A B C D$ 是边长为10的正方形，点P是射线 $B C$ 上一点（点P不与点B和点C重合），连接 $A P$ ，过B作 $A P$ 的垂线，垂足为E，在线段 $A P$ 上取点F，使得 $A F = B E$ ，连接 $D F$ ．

(1)、当点P在线段 $B C$ 上时，求证： $D F ∥ B E$ ；

(2)、当 $△ A E B$ 的面积为20时，求 $D F : B E$ 的值；

(3)、如图2，连接 $C E$ ，在点P的运动过程中，求线段 $D F ， F E ， E C ， C D$ 所围成图形面积的最小值．

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25. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点P在 $A B$ 上，连接 $C P$ ，过点B作 $B E ⊥ C P$ 于点E，过点D作 $D F ⊥ C P$ 于点F．

(1)、求证： $△ C B E ≌ △ D C F$ ．

(2)、如图2，延长 $C P$ 至点G，使 $E G = E B$ ，连结 $B G$ ， $D G$ ．
①探究线段 $B G$ ， $C G$ ， $D G$ 之间的数量关系，并说明理由．
②连结 $A G$ ，若 $A G = \sqrt{2} ， A D = 3$ ，求 $D G$ 的长．

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四、实践探究题

26. 综合与实践
问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是 $1700$ 多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（ $△ D A E$ ， $△ A B F$ ， $△ B C G$ ， $△ C D H$ ）和中间一个小正方形 $E F G H$ 拼成的大正方形 $A B C D$ ，且 $∠ A B F ＞ ∠ B A F$ ．
特殊化探究：连接 $B H$ ．设 $B F = a$ ， $A F = b$ ．
“运河小组”从线段长度的特殊化提出问题：

(1)、若 $A B = 5$ ， $F G = 1$ ，求 $△ A B F$ 的面积．

(2)、“武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题：
若 $b = 2 a$ ，求证： $∠ B A E = ∠ B H E$ ．

(3)、深入探究：老师进一步提出问题：
如图2，连接 $B E$ ，延长 $F A$ 到点I，使 $A I = A B$ ，作矩形 $B F I J$ ．设矩形BFIJ的面积为 $S_{1}$ ，正方形 $A B C D$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $B E$ 平分 $∠ A B F$ ，求证： $S_{1} = S_{2}$ ．
请你解答这三个问题．

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$∠ P C B$ 的度数	$30 °$	$x °$
$∠ B P D$ 的度数