《菱形》精选压轴题—浙江省八（下）数学期末复习

试卷更新日期：2025-06-04 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，线段 $A B = 12$ ， $P$ 是线段 $A B$ 上一动点，分别以 $A P$ 和 $B P$ 为边在同侧作菱形 $A P E F$ 和菱形 $P B C D$ ，且 $P$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上， $∠ B =60 °$ ，连接 $C F$ ，取 $C F$ 的中点 $M$ ，连接 $A M$ ， $P M$ ，以下说法正确的是（）

A、 $A M$ 的长不会随着P点的运动而变化，始终为 $3 \sqrt{3}$ B、 $A M$ 的长随着P点的运动而变化，其最小值为 $3 \sqrt{3}$ C、 $P M$ 的长不会随着P点的运动而变化，始终为 $3 \sqrt{3}$ D、 $P M$ 的长随着P点的运动而变化，其最小值为 $3 \sqrt{3}$

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2. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是对角线 $B D$ 上一动点， $P E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ C D$ 于点 $F$ ，记菱形高线的长为 $h$ ，则下列结论： $①$ 当 $P$ 为 $B D$ 中点时，则 $P E = P F$ ； $② P E + P F = h$ ； $③ ∠ E P F + ∠ A = 180 °$ ； $④$ 若 $A B = 2$ ， $∠ E P F = 60 °$ ，连结 $P C$ ，则 $P E + P C$ 有最小值为 $2$ ； $⑤$ 若 $h = 2$ ， $∠ E P F = 60 °$ ，连结 $E F$ ，则 $S_{△ P E F}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2} .$ 其中错误的结论有( )

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题

3. 如图，在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 10 cm$ ，点 $D$ 从点 $B$ 出发沿 $B A$ 方向以 $\sqrt{2} cm / s$ 的速度向点A匀速运动，同时点 $E$ 从点 A 出发沿 $A C$ 方向以 $1 cm / s$ 的速度向点 $C$ 匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一点也随之停止运动，设点 $D ， E$ 运动的时间为 $t$ 秒．过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，若平面内存在一点 $H$ ，使得以 $H 、 E 、 F 、 D$ 为顶点的四边形为菱形，则 $t$ 的值为．

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4. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，边长为8，点E，F分别是 $B C$ ， $C D$ 的中点；连结 $A E$ ， $B F$ ， Q，P分别是 $A E$ ， $B F$ 的中点，则 $P Q =$ ．

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5. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的面积为 $2 \sqrt{5} ， A B = \sqrt{5}$ ，点P，Q分别是在边 $B C$ ， $C D$ 上(不与C点重合) ，且 $C P = C Q$ ，连结 $D P$ ， $A Q$ ，则 $D P + A Q$ 的最小值为．

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6. 如图1，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点E，动点P由点A出发，沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x， $△ A E P$ 的面积为y，y与x的函数关系图象如图2，则 $A C$ 的长为．

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三、综合题

7. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B > A D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $C D = 10$ ．记 $B C$ 的长为 $x$ ， $E$ 是 $A B$ 边上的一个动点，连接 $C E$ ， $F$ 是点 $B$ 关于 $E C$ 的对称点，连接 $E F$ ， $C F$ ．

(1)、如图1，当点 $F$ 落在 $A D$ 上且 $C F ⊥ A D$ 时，求 $x$ 的值．

(2)、如图2，若点 $F$ 恰好落在 $C D$ 边上，判断四边形 $B C F E$ 的形状，并说明理由．

(3)、若点 $F$ 恰好落在 $▱ A B C D$ 的边上，且 $A F = 2$ ．求 $x$ 的值．

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8. 如图1， $△ A B C ≌ △ A D C$ ，过点D作 $D E ∥ C B$ 交 $A C$ 于点E，连接 $E B$ ．

(1)、求证：四边形 $B C D E$ 是菱形．

(2)、若 $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， E为 $A C$ 的中点．
①求 $A C$ 的长．
②如图2，在边 $B C$ 上取一点F，连结 $D F$ 并延长交 $A B$ 的延长线于点G，记 $△ C D F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B G F$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} = S_{2} + \frac{\sqrt{15}}{5}$ 时，求 $B G$ 的长．

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9. 已知 $△ A B C$ 内角 $∠ B A C = α (0 ° < α < 180 °)$ ，分别以 $A B, A C$ 为边向外侧作等边 $△ A B M$ 和等边 $△ A C N$ ，连接 $C M, B N$ 交于点 $O$ ．

(1)、如图1，判断 $∠ M O N$ 是否随 $α$ 的变化而变化？如果不变化，请求出 $∠ M O N$ 的度数；如果变化，请用 $α$ 的代数式表示 $∠ M O N$ 的度数；

(2)、连接 $M N$ ，再依次连接 $M B, B C, C N, N M$ 四条线段的中点 $D, E, F, G$ ，得到四边形 $D E F G$ ．
①如图2，若 $α = 90 °$ ， $A B = 4 cm$ ， $A C = 3 cm$ ，求四边形 $D E F G$ 的面积；
②若 $△ A B M$ 的面积是 $12 \sqrt{3}$ ， $△ A C N$ ， $△ A M N$ 的面积都是 $4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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10. 如图1，已知菱形 $A B C D$ ，点E是对角线 $B D$ 上任意一点（不与端点B、D重合），连结 $A E$ ， $C E$ ， $A B = 5$ ， $B D = 6$ ．

(1)、求证： $A E = C E$ ．

(2)、若 $∠ A E C + 2 ∠ B A E = 180 °$ ，则 $\frac{S_{△ A B E}}{S_{菱形 A B C D}}$ 的值．

(3)、如图2，延长 $A E$ 交 $B C$ 于点F，若 $△ C D E$ 是等腰三角形，求 $E F$ 的长．

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11. 如图 $1$ ，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A B$ 上， $△ B E C$ 与 $△ F E C$ 关于直线 $E C$ 对称，点 $B$ 的对称点 $F$ 在边 $A D$ 上，过点 $B$ 作 $B G ∥ E F$ ，交 $C E ， C F$ 于点 $H ， G$ ．

(1)、求证： $B G = C D$ ；

(2)、如图 $2$ ，连接 $F H$ ，求证：四边形 $B E F H$ 是菱形；

(3)、如图3，在（2）的条件下，作 $B M$ 平分 $∠ H B C$ ，交 $C H$ 于点 $M$ ，请写出线段 $A F ， A B ， B M$ 之间的数量关系，并证明．

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