《平行四边形与矩形》精选压轴题—浙江省八（下）数学期末复习

试卷更新日期：2025-06-04 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A E = C F = 1$ ，连接 $E F$ ， $B F$ ， $E F$ 与对角线 $A C$ 交于点 $O$ ，且 $B E = B F$ ， $∠ B E F = 2 ∠ B A C$ ，有下列三个结论：① $O E = O F$ ；② $B F ⊥ A C$ ；③ $A B = 3$ ．其中，正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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2. 如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC ， BD交于点O ，延长BC至点E ，使得BE＝DE ，连结OE交CD于点F ．当∠CED＝45°时，有以下两个结论：①若CF＝1，则 $D F = \sqrt{2}$ ， ②若BD＝2，则 $O E = \sqrt{2} + 1$ ．则下列判断正确的是（　　）

A、①②均错误 B、①②均正确 C、①错误②正确 D、①正确②错误

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3. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{7}$ ． $C E$ 平分 $∠ B C D$ 交 $A D$ 于点 $E$ ， $M$ 是 $C D$ 上一动点，连结 $B M$ ， $E F ⊥ B M$ 于点 $F$ ，若 $B F = F M$ ，且 $E F = 2 D M$ ，则 $C M$ 的长为（　　）

A、 $\sqrt{7} - 1$ B、 $\sqrt{7} - \frac{4}{3}$ C、 $4 - \sqrt{7}$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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二、填空题

4. 如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为．

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B > A D > \frac{1}{2} A B$ ，在 $A D$ 边上截取一点 $E$ ，使得 $A E + A D = A B$ ，连接 $C E$ ，点 $F$ 是 $C E$ 的中点，连接 $A F$ ．已知 $A F = 2$ ，则线段 $A B$ 的长为．

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6. 如图，过平行四边形 $A B C D$ 内的点P作各边的平行线分别交 $A B ， B C ， C D ， D A$ 于点E，F，G，H．连接 $A F ， A G ， F G$ ．已知 $△ A F G$ 与平行四边形 $A E P H$ 的面积分别为m，n．
（1）若点P是平行四边形 $A B C D$ 的对称中心，则 $\frac{n}{m} =$ ；
（2）平行四边形 $A B C D$ 的面积为（用含m、n的代数式表示）．

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7. 在矩形 $A B C D$ 中，点F为边 $A D$ 的中点，连接 $B F$ ，将 $△ A B F$ 沿直线 $B F$ 翻折，使得点A与点 H重合， $F H$ 的延长线交线段 $B C$ 于点 G， $B H$ 的延长线交线段 $C D$ 于点 E， $A B = 6$ ，若点 E 为线段 $C D$ 的中点，则线段 $B C$ 的长为，线段 $B G$ 的长为．

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8. 如图，矩形 $O A B C$ 在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为 $(6, 8)$ ．有一动点D以1个单位长度/秒的速度从O点向A点运动，另一动点E以相同速度同时从A点向B点运动，其中一点到达终点时停止运动．连结 $E D$ ，将线段 $E D$ 绕点E按顺时针方向旋转 $90 °$ 得到线段 $E F$ ，连结 $D F$ ，设点D、E运动的时间为t秒．
（1）当 $t = 2$ 时， $△ D E F$ 的面积为．
（2）记点G为线段 $E F$ 的中点，则在整个运动过程中，点G所经过的路径长为．

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9. 图1是一款可升降篮球架，支架 $A B$ ， $C E$ ， $G F$ 的长度固定，A，D，G为立柱 $A H$ 上的点， $A H ⊥$ 地面，篮板 $B C ⊥$ 地面， $G F ⊥ A H$ ， $A D = B C = 0.6$ 米， $D H = 2.3$ 米，若改变伸缩臂 $E F$ 的长度，则 $A B$ ， $C D$ 可绕点A，D旋转来调整篮筐的高低．如图2，当 $∠ G D E = 60 °$ 时，可测得篮筐的固定点C距离地面为2.9米，则支架 $C D$ 的长为米．降低篮筐高度如图3，连结 $B F$ 交 $C D$ 于点O， $B F$ 平分 $∠ A B C$ ， $A B = 2 O B$ ，此时篮筐的固定点C离地面的距离为米．

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三、综合题

10. 如图 1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4 \sqrt{2}, A D = 7, ∠ A B C = 45^{\circ}$ ，点 $E, F$ 分别为边 $A D, B C$ 上的动点 (不与顶点重合)，且 $A E = C F$ ，连结 $E F$ ，将四边形 $C F E D$ 沿着 $E F$ 折叠得到四边形 $C^{^{'}} F E D^{^{'}}$ .

(1)、连结 $B D$ 交 $E F$ 于点 $O$ ，连结 $B D^{^{'}}$ .
①求证： $O B = O D$ .
②若 $O F = B D^{^{'}}$ ，求 $D E$ 的长.

(2)、若点 $C^{^{'}}$ 落在平行四边形 $A B C D$ 的边上，请直接写出 $C C^{^{'}}$ 所有可能的值.

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11. 在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 4$ ， $∠ A = 60 °$ ，点 $E, F$ 分别为边 $C D, A B$ 上异于端点的动点，且 $D E = B F$ ，连结 $E F$ ，将四边形 $C E F B$ 沿着 $E F$ 折叠得到四边形 $H E F G$ ．

(1)、如图1，边 $H E$ ， $A B$ 交于点 $Q$ ，若 $A Q = B F$ ，求证：四边形 $A Q E D$ 为平行四边形；

(2)、如图2，当点 $C$ 落在点 $A$ 处时，求折痕 $E F$ 的长；

(3)、当点 $G$ 落在 $▱ A B C D$ 的边上时，求点 $B, G$ 之间的距离．

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12. 如下图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，点P从点B出发，沿 $B C - C D$ 向点D运动，作 $△ A C D$ 关于直线 $A P$ 的对称 $△ A C^{'} D^{'}$ （点C，D的对称点分别为 $C^{'}$ ， $D^{'}$ ）.

(1)、如下图，当点 $C^{'}$ 在 $A B$ 的延长线上时，连结 $C C^{'}$ ，求 $C C^{'}$ 的长.

(2)、如下图，当点P与点C重合时，连结 $D D^{'}$ ， $C D^{'}$ 、 $D D^{'}$ 交 $A B$ 分别于点E、F.
①求证： $∠ D^{'} F E = ∠ E D^{'} F$ ；
②求 $E F$ 的长.

(3)、当直线 $C^{'} D^{'}$ 经过点B时，求 $C P$ 的长.

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13. 如图1，点O为矩形ABCD对角线AC的中点，AB=4，BC=8，点E为BC边上一点，连结EO并延长，交AD于点F．四边形ABEF与四边形A₁B₁EF关于EF所在直线成轴对称，线段FA₁交边BC于点H，连结OH．

(1)、求证： $O H ⊥ E F$ 。

(2)、若 $B E = 1$ ，求 $F D, E H$ 的长。

(3)、如图 2，连结 $O B_{1}$ ，若 $O H = O B_{1}$ ，求 $B E$ 的长。

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14. 如图1，将矩形纸片OABC放置在如图所示的平面直角坐标系内，点 $O$ 与坐标原点重合，点 $B$ 的坐标为 $(5, 3)$ ，折叠纸片使点 $B$ 落在 $x$ 轴上的点 $D$ 处，折痕为MN，过点 $D$ 作 $y$ 轴的平行线交MN于点 $E$ ，连结BE.

(1)、求证：四边形BEDM为菱形；

(2)、如图2，当点N与点 $A$ 重合时，求点 $E$ 的坐标；

(3)、如图3，在(2)的条件下，点 $P$ 是线段OC上一动点，点 $Q$ 是线段OA上一动点，过点 $M$ 的反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象与线段AB相交于点 $F$ ，连结PM，PQ，FM，QF，当四边形PMFQ的周长最小时，求点 $P$ ，点 $Q$ 的坐标.

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15. 在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上异于 $A$ 、 $D$ 的一个动点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠，点 $A$ 的对应点为 $F$ ．

(1)、如图 $1$ ，若设 $∠ A B E = α$ ，则 $∠ D E F =$ _______（用含 $α$ 的式子表示）；当点 $F$ 恰好是 $B D$ 的中点时，则 $α =$ ________度．

(2)、如图 $2$ ， $E F$ 交 $B D$ 于点 $M$ ，且 $B F$ 平分 $∠ D B C$ ．
①求证： $△ E D M$ 是等腰三角形．
②当 $A B = 3$ ， $B C = 4$ 时，求 $A E$ 的长．
③若设 $B E = a$ ， $B M = b$ ， $E M = c$ ，求证： $a^{2} = b^{2} + b c$ ．

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16. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， B C = 6 \sqrt{3}$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E 、 F$ 分别是边 $A D 、 B C$ 上的动点，且线段 $E F$ 经过点 $O$ ．

(1)、如图 $1$ ，求证： $A E = C F$ ．

(2)、如图 $2$ ，将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，点 $A^{'} ， B^{'}$ 分别是点 $A$ 与点 $B$ 的对应点．
①若 $F B^{'} ⊥ B C$ ，求 $B F$ 的长度．
②连接 $B A^{'} ， B B^{'}$ ，直接写出 $△ B A^{'} B^{'}$ 面积的最大值．

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四、实践探究题

17. 【探索发现】小应发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍．
【推理论证】如图1，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，求证： $A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + B C^{2})$ ．
小应的证明：作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E, D F ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，由四边形 $A B C D$ 是平行四边形，容易证得 $△ A B E ≌ △ D C F$ （ $A A S$ ），得到 $A E = D F$ ， $B E = C F$ ．设 $B E = C F = a$ ， $C E = b$ ， $A E = D F = h$ ．
在 $Rt △ A C E$ 和 $Rt △ B D F$ 中， $A C^{2} + B D^{2} = h^{2} + b^{2} + {(2 a + b)}^{2} + h^{2} = 4 a^{2} + 4 a b + 2 b^{2} + 2 h^{2}$ ．
在 $Rt △ A B E$ 中， $A B^{2} = a^{2} + h^{2}$ ．
$∴ A B^{2} + B C^{2} = \dots \dots$
（1）请继续完成小应的证明；
【初步应用】（2）如图2，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ， $B D = 8$ ，求 $O A$ 的长；
【拓展提升】（3）如图3，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ ， $E$ 是斜边 $A B$ 的三等分点， $C D = 5$ ， $C E = 2 \sqrt{5}$ ，求 $A B$ 的长．

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18. 定义：如果平面内一点到三角形三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的“幸运点”．例如：平面内有一点P到 $△ A B C$ 的三个顶点的距离分别为 $P A ， P B ， P C$ ，如图1，当 $P C$ 最大时，若 $P C^{2} = P A^{2} + P B^{2}$ ，则点P就是 $△ A B C$ 的“幸运点”．

【探究1】如图2，在 $3 \times 2$ 的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， $△ A B C$ 的顶点在格点上，若格点P是 $△ A B C$ 的“幸运点”，请画出点P的位置；
【探究2】如图3，矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 交于点O， $A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ，若P是矩形 $A D$ 上的一点，且点P是 $△ O B C$ 的“幸运点”，求 $P A$ 的长；
【探究3】如图4， $△ A B C$ 为等边三角形，过点A作 $A B$ 的垂线，点D在该垂线上，以 $C D$ 为边在其右侧作等边 $△ C D E$ ，连接 $A E$ ．
①判断点A是否是 $△ C D E$ 的“幸运点”，并说明理由；
②若 $A D = 5$ ， $A E = \sqrt{73}$ ，求 $D E$ 的长．

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19. 综合与实践
【性质探究】
（1）如图1，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，且 $A C ⊥ B D$ ，求证： $A B^{2} + C D^{2} = B C^{2} + A D^{2}$ ．
【性质运用】
（2）如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 5 \sqrt{2}$ ， $A C = 4 \sqrt{2}$ ，分别以 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 为直角边向外作等腰 $Rt △ A B D$ 和等腰 $Rt △ A C E$ ．连接 $D C$ ， $B E$ ， $D E$ ， $D C$ 与 $B E$ 交于点 $F$ ，求线段 $D E$ 的长．
【拓展迁移】
（3）如图3，在锐角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 30 °$ ， $A B = a$ ， $A C = b$ ，分别以 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 为边向外作等边三角形 $A B D$ 和等边三角形 $A C E$ ．连接 $D C$ ， $B E$ ， $D E$ ， $D C$ 与 $B E$ 交于点 $F$ ．试通过计算写出 $B C^{2} + D E^{2}$ 与 $B D^{2} + C E^{2}$ 之间的等量关系．

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