《二次根式、一元二次方程与反比例函数》精选压轴题—浙江省八（下）数学期末复习

试卷更新日期：2025-06-04 类型：复习试卷

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一、二次根式

1. 非零实数 $x$ ， $y$ 满足 $(\sqrt{9 x^{2} + 2024} - 3 x) (\sqrt{y^{2} + 2024} - y) = 2024$ ，则 $\frac{x^{2} + 2 x y + 3 y^{2}}{2 x^{2} + y^{2}} =$ ．

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二、一元二次方程

2. 已知实数 $x, y$ 满足 $4 x^{2} - x + 4 x y + y^{2} = 1$ ，设 $M = x + y$ ，则 $M$ 的最大值是（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{19}{16}$ D、1

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3. 已知一元二次方程ax²+bx+1＝0（a≠0）的一个正根和方程x²+bx+a＝0的一个正根相等，若ax²+bx+1＝0的另一个根为4，则x²+bx+a＝0的两个根分别为（　　）

A、﹣4，4 B、﹣4，1 C、 $\frac{1}{4}, 4$
D、 $\frac{1}{4}, 1$

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4. 在解一元二次方程时，小马同学粗心地将 $x^{2}$ 项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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5. 已知关于 $x$ 的方程 $b^{2} x^{2} + a b x + a^{2} - 3 b^{2} + 1 = 0$ （ $a, b$ 为常数，且 $a b \neq 0$ ），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（）
① $x = - 2$ ；② $x = - 1$ ；③ $x = 1$ ；④ $x = 2$

A、①④ B、②③ C、①② D、③④

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6. 设实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x + y + z = 1$ ，则 $M = x y + 2 y z + 3 z x$ 的最大值为．

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三、反比例函数

7. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的面积为9．它的两个顶点 $B$ ， $D$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $x > 0$ ）的图象上两点，若点 $D$ 的坐标是 $(m, n)$ ，则 $m - n$ 的值为（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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8. 如图，将含 $30^{\circ}$ 的三角尺放在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $B$ 在 $x$ 轴上， $A C / / x$ 轴，点 $M$ 为斜边 $A B$ 的中点. 若反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m > 0)$ 的图象经过 $A, M$ 两点，反比例函数 $y = \frac{n}{x} (n > 0)$ 的图象经过点 $C$ ，则 $m$ 与 $n$ 满足的等量关系是（）

A、 $n = 3 m$ B、 $n = 2 m$ C、 $n = \sqrt{3} m$ D、 $n - m = \sqrt{3}$

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9. 如图， $A$ 是反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 图象上一点，且A点的横坐标为 $a (a > 0)$ ． $P$ 是 $y$ 轴负半轴上一点，且 $P$ 点的纵坐标为 $b$ ．连接 $A P$ ，延长 $A P$ 至点 $B$ ，使得 $B P = A P$ ，且点 $B$ 恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x < 0)$ 的图象上．已知 $a b = - 2$ ，则 $k$ 的值为（）．

A、2 B、4 C、6 D、8

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10. 如图，将含 $30 °$ 的三角尺放在平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $B$ 在 $x$ 轴上， $A C ∥ x$ 轴，点M为斜边AB的中点．若反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ （ $m > 0$ ）的图象经过 $A, M$ 两点，反比例函数 $y = \frac{n}{x}$ （ $n > 0$ ）的图象经过点 $C$ ，则 $m$ 与 $n$ 满足的等量关系是（）

A、 $n = 3 m$ B、 $n = 2 m$ C、 $n = \sqrt{3} m$ D、 $n - m = \sqrt{3}$

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11. 已知正比例函数 $y_{1} = - 2 x$ 与反比例函数 $y_{2} = - \frac{8}{x}$ .对于实数m ，当 $x = m$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ；当 $x = m + 1$ 时， $y_{1} < y_{2}$ ，则m的取值范围为（）.

A、 $m < - 2$ 或 $0 < m < 2$ B、 $- 2 < m < 2$ C、 $- 3 < m < - 2$ 或 $1 < m < 2$ D、 $- 2 < m < 0$ 或 $m > 2$

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12. 如图，点A，B在反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，以 $O A ， A B$ 为邻边作平行四边形 $O A B C$ ，点C恰好落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上，若平行四边形 $O A B C$ 的面积是6，则k的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 3$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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13. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y_{1} = | x |$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于点 $A (1, y_{1}) .$ 若 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $x$ 的取值范围是．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 的中点与坐标原点重合，点 $E$ 是 $x$ 轴上一点，连接 $A E$ 、 $B E$ ，若 $A D$ 平分 $∠ O A E$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0, x < 0)$ 的图象经过 $A E$ 上的点 $A$ 、 $F$ ，且 $A F = E F$ ， $△ A B E$ 的面积为12，则 $k$ 的值为．

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15. 如图，矩形 $A B C D$ 的顶点D在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线 $A C$ 的延长线交y轴于点E，连接 $B E$ ，若 $△ B C E$ 的面积是2，则k的值为．

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16. 如图，点 $A 、 B$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上的两点，直线 $A B$ 交 $y$ 轴正半轴于点C，连接 $A O$ 并延长交反比例函数图象的另一支于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $∠ C A O$ 的角平分线的垂线，垂足为点 $E$ ，若点 $B$ 是线段 $A C$ 的中点且 $S_{△ A B E} = 6$ ，则 $k =$ ．

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17. 以平行四边形 $O A B C$ 的顶点 $O$ 为原点， $O A$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系， $D$ 为 $A B$ 边上一点， $∠ C O A = 60^{\circ}$ ，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象经过 $C, D$ 两点．
（1）若 $O C = 4, D$ 为 $A B$ 的中点，则 $D$ 点坐标．
（2）当 $D$ 为 $A B$ 的 $n$ 等分点， $\frac{A D}{A B} = \frac{1}{n}$ 时，则 $\frac{O C}{O A}$ 值．（用含 $n$ 的代数式表示）

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18. 如图，平面直角坐标系中有一个由 $12$ 个边长为 $1$ 的正方形所组成的图形，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的图象与图形外侧两个交点记为 $A$ 点， $B$ 点，若线段 $A B$ 把该图形分成面积为 $5 : 7$ 的两部分，则 $k$ 的值为．

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19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点 $A (0, k)$ 是 $y$ 轴正半轴上一点，点 $B$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 图象上的一个动点，连结AB，以AB为一边作正方形ABCD，使点 $D$ 在第一象限且落在反比例函数的图象上，设点 $B$ 的横坐标为 $m (m < 0)$ ，点 $D$ 的横坐标为 $n (n > 0)$ ，则 $m + n =$ .

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20. 如图，第二象限的点 $B 、 C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 图象上，延长 $C B$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，点 $E$ 是 $x$ 轴负半轴上的一点， $O E = 2$ ，连结 $O C, O B, C E$ ，若 $O C = O B, C B = 2 C E, ∠ O E C = 135^{\circ}$ ，则 $k$ 的值是.

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21. 如图，点M在函数 $y = \frac{5}{x}$ （x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数 $y = \frac{2}{x}$ （x＞0）的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为．

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22. 点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 图像上一点，过点 $A$ 作 $x$ 轴、 $y$ 轴的平行线，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象于 $B, C$ 两点，连接 $B C$ ，若 $S_{△ B O C} = \frac{8}{3}$ ，则 $k =$ ．

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23. 如图，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ ， $B$ 分别在 $y$ 轴正半轴和 $x$ 轴正半轴上，过点 $C$ 的反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象交正方形对角线 $B D$ 于点 $E$ ．若正方形的面积为40，且点 $E$ 是 $B D$ 的中点，则 $k$ 的值为．

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