新题速递（2）—浙江省七（下）数学期末复习

试卷更新日期：2025-06-04 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 下列由左到右边的变形中，是因式分解的是（）

A、 $x^{2} - 1 = x (x - \frac{1}{x})$ B、 $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$ C、 $x^{2} - 4 + 3 x = (x + 2) (x - 2) + 3 x$ D、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$

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2. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车的锂电池需要用到碳纳米管，我国已具备研制直径为0.000000049的碳纳米管，数据0.000000049用科学记数法表示为（）

A、 $4.9 \times 1 0^{- 8}$ B、 $0.49 \times 1 0^{- 8}$ C、 $0.49 \times 1 0^{9}$ D、 $4.9 \times 1 0^{- 9}$

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3. 关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x - y = 2 m - 1 \\ x + 3 y = 5 \end{array}$ 的解满足 $x + y = 2$ ，则 $m$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 现有①，②，③，④四张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程，若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为 ${\begin{cases} x = - 7 \\ y = - 8 \end{cases}$ ，则所取的两张卡片是（）

A、①和② B、②和③ C、①和④ D、③和④

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5. 如图四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（）
①（2a+b）（m+n）②2a（m+n）+b（m+n）③m（2a+b）+n（2a+b）④2am+2an+bm+bn

A、①② B、③④ C、①②③ D、①②③④

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $(x + 2 y) (x - 2 y) = x^{2} - 2 y^{2}$ B、 $(x - y) (- x - y) = - x^{2} - y^{2}$ C、 $(x - 2 y)^{2} = x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}$ D、 $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2}$

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7. 若关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} m x - n y = 8 \\ m x + n y = 9 \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 7 \\ y = 9 \end{array}$ ，则关于a，b的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} m (5 a - b) - 3 n b = 8 \\ m (5 a - b) + 3 n b = 9 \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} a = 2 \\ b = 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} a = 3 \\ b = 2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} a = 4 \\ b = 2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} a = 5 \\ b = 3 \end{array}$

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8. 为了“践行垃圾分类·助力双碳目标”的活动，学校的小亮和小芬一起收集了些废电池，小亮说：“我比你多收集了5节废电池.”小芬说：“如果你给我6节废电池，此时我的废电池数量就是你的2倍.”如果他们说的都是真的，设小亮收集了m节废电池，小芬收集了n节废电池，根据题意可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} m - n = 5 \\ 2 (m - 6) = n + 6 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} m - n = 5 \\ m - 6 = 2 (n + 6) \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} m - n = 5 \\ 2 (m - 6) = n \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} m - n = 5 \\ m + 6 = 2 (n - 6) \end{array}$

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9. 已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + y = 2 k \\ x - 2 y = k + 6 \end{array}$ 有下列说法：①当 $x$ 与 $y$ 相等时，解得 $k = - 4$ ：②当 $x$ 与 $y$ 互为相反数时，解得 $k = 3$ ；③若 $4^{x} \cdot 8^{y} = 32$ ，则 $k = 11$ ；④无论 $k$ 为何值， $x$ 与 $y$ 的值一定满足关系式 $x + 5 y + 12 = 0$ .其中正确的个数有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

10. 从 $m^{2}$ 、 $2 m n$ 、 $n^{2}$ 这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式

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11. 已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ ，则关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} (x + 3) + b_{1} y - 2 b_{1} = c_{1}, \\ a_{2} (x + 3) + b_{2} y - 2 b_{2} = c_{2} \end{array}$ 的解为．

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12. 已知实数a，b，定义运算： $a ※ b = \{\begin{matrix} a^{b} (a > b, 且 a \neq 0) \\ a^{- b} （ a \leq b ，且 a \neq 0 ） \end{matrix}$ ，若 $a ※ (a$ -3)=1，则a= ．

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13. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 1 - a \\ x - y = 2 a \end{array}$ ，现给出以下结论：① ${\begin{array}{l} x = \frac{2}{3} \\ y = 0 \end{array}$ 是该方程组的一个解；②无论a取何值， $x + y$ 的值始终是一个定值；③当 $a = 1$ 时，该方程组的解也是方程 $x + y = a - \frac{1}{3}$ 的解；④若 $x^{2} - y^{2} = 4$ ，则 $a = - 3$ .其中正确的是（填序号）.

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三、解答题

14. 计算：

(1)、 $- 2^{2} + (π - 2025)^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 1}$

(2)、 $2024 \times 2026 - 202 5^{2}$ ．

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15.

(1)、化简： $(4 a b^{3} - 8 a^{2} b^{2}) \div (4 a b)$ ；

(2)、先化简，再求值： $(2 x - y)^{2} - (x + y) (x - y)$ ，其中 $x = - 2, y = 1$ .

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16. 因式分解：

(1)、（a-b）²+2b-2a.

(2)、4m²（x-y）+n²（y-x）.

(3)、（y-2）²+（3y+1）²-13.

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17. 阅读下列材料：数科书中这样写道：＂我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式＂，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.即将多项式 $x^{2} + b x + c (b 、 c$ 为常数）写成 $(x + h)^{2} + k$ （h、k为常数）的形式，且方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题.

(1)、【知识理解】：
若多项式 $x^{2} + k x + 4$ 是一个完全平方式，那么常数 $k$ 的值为；

(2)、配方： $x^{2} - 4 x - 6 = (x - 2)^{2} -$ ；

(3)、【知识运用】：
求多项式 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 1$ 的最小值．

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18. 若 $n + a = x^{2}$ ， $n - a = y^{2}$ $(n ， a ，$ $x^{2}$ ， $y^{2}$ 是自然数），则称 $x^{2}$ ， $y^{2}$ 为一组“兄弟平方数”，n为这组“兄弟平方数”的“中介数”。
例如： $5 + 4 = 9 = 3^{2}$ ， $5 - 4 = 1 = 1^{2}$ ，则9和1是一组“兄弟平方数”，5是“中介数”.

(1)、试求“兄弟平方数”49和25的“中介数”.

(2)、若“中介数”为52，试求符合要求的“兄弟平方数”

(3)、若“中介数”n，将它分别加上42或减去42，所得的两个数是一组“兄弟平方数”，请直接写出符合要求的所有“兄弟平方数”和相应“中介数”
温馨提示：参考公式х²-y²=（x+у）x-y）

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19. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题.例如：
若 $a + b = 4, a b = 2$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值.
解： $∵ a + b = 4, a b = 2$ ，
$∴ (a + b)^{2} = 16, 2 a b = 4$ .
即 $a^{2} + b^{2} + 2 a b = 16$ .
$∴ a^{2} + b^{2} = 12$ .
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：

(1)、若 $a + b = 3, a b = - 2$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的值为； $(a - b)^{2}$ 的值为；

(2)、如图， $C$ 是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，若 $A B = 9$ ，两正方形面积的和为25，设 $A C = a, B C = C F = b$ ，求 $△ A F C$ 的面积；

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20. 在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“ $Z$ ”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为 $a$ 的 $A$ 类正方形，1张边长为 $b$ 的 $B$ 类正方形，4张长为 $a$ ，宽为 $b$ 的 $C$ 类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“ $Z$ ”的图案。

(1)、当 $a = 2$ 厘米， $b = 4$ 厘米时，求“ $Z$ ”图案中阴影部分的面积；

(2)、用含字母a，b的代数式表示阴影部分的面积；

(3)、若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形 $A$ 的面积总和，请计算 $\frac{a}{b}$ 的值。

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21. 探究与实践

(1)、【探索发现】
用四个长为 $a$ 、宽为 $b$ 的长方形拼成如图①所示的正方形，由此得到 $(a + b)^{2} 、 (a - b)^{2}$ 、ab的等量关系是；

(2)、【解决问题】
①若 $x - 2 y = 4, x y = \frac{9}{8}$ ，则 $x + 2 y =$ ；
②当 $(x - 2025) (2000 - x) = 100$ 时，求 $(2 x - 4025)^{2}$ 的值；

(3)、【拓展提升】
如图②，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中BE、CF为两条互相垂直的道路，且 $B G = C G, E G = F G, B G < E G$ ，四边形ABGF与四边形CDEG为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按垁划要求，道路BE的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了26万刚好用完，求 $G E - B G$ 的值．（道路的宽度均不计）

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22. 果园丰收一批苹果共150吨，现需运往A市销售。在运输中，有甲、乙、丙三种车型选择，每种车型的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车都满载）
车型
甲
乙
丙
运载量/（吨/辆）
6
10
12
运费/（元/辆）
450
600
700

(1)、若全部苹果都用甲、乙两种车型来运输，共需费用9450元，问分别需要甲、乙两种车型各多少量？

(2)、考虑到实际情况，为使费用最节省，该果园决定三种车型同时参与运送，已知它们的总和是15辆，请求出当这三种车型分别安排多少辆时，总费用最低，此时的费用是多少？

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23. 根据以下素材，探索完成任务.

背景素材1 素材2	为表彰同学在班级活动中的优异表现，琣主任王老师去文具店购买A，B两种款式的笔记本作为奖励．买1本A款普通笔记本，2本B款普通笔记本共需14元；买3本A款普通笔记本，4本B款普通笔记本共需32元．为了满足市场需求，文具店推出每本1元的加印logo服务，顾客在选完款式后可以自主选择加印logo或者不印logo.
素材3	王老师购买A，B两款普通笔记本和加印logo笔记本各若干本，其中A款普通笔记本的本数是购买笔记本总本数的 $\frac{1}{3}$ .
问题解决
任务1	求A款普通笔记本和B款普通笔记本的销售单价．
任务2	学习委员为更好的了解王老师所买的各种笔记本的本数情况，制作了以下不完全统计表格：
	款式 A	普通笔记本(本) 加印笔记本(本)
	B
	①A款加印与B款普通笔记本之和为_________（用含m，n的代数式表示）； ②若王老师购买笔记本一共用了100元，求王老师购买笔记本的总本数．

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车型	甲	乙	丙
运载量/（吨/辆）	6	10	12
运费/（元/辆）	450	600	700