《分式与二元一次方程（组）》精选压轴题—浙江省七（下）数学期末复习

试卷更新日期：2025-05-27 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 已知 $a_{1} = x - 1$ （ $x \neq 1$ 且 $x \neq 2$ ）， $a_{2} = \frac{1}{1 - a_{1}}, a_{3} = \frac{1}{1 - a_{2}}, \dots, a_{n} = \frac{1}{1 - a_{n - 1}}$ ，则 $a_{2022}$ 等于（）

A、 $\frac{2 - x}{1 - x}$ B、 $x + 1$ C、 $x - 1$ D、 $\frac{1}{2 - x}$

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2. 有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．
卡片编号
①②
②③
③④
④⑤
①⑤
两数的和
$52$
$64$
$57$
$69$
$46$
则写有最大数卡片的编号是( )

A、② B、③ C、④ D、⑤

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3. 小明同学每天傍晚 $5 ： 30$ 放学，妈妈每天都从家里出发，骑电瓶车按时到校接他回家．有一天学校提前30分钟放学，妈妈由于工作原因，不能提前过来接他，只能按原来的时间从家出发．他和妈妈约定先沿着原路线步行，路上遇到妈妈后再乘车回家，结果比原来早6分钟到家．若妈妈的车速不变，设妈妈的车速是小明步行速度的k倍，则k的值是（）

A、10 B、9 C、6 D、5

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4. 小明的爸爸妈妈各有一辆汽车，但加油习惯有所不同．爸爸每次加油都说“师傅，给我加 $300$ 元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”，这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈各加油两次，第一次加油汽油单价都为 $x$ 元/升，第二次加油汽油单价都为 $y$ 元/升（ $x \neq y$ ），妈妈每次加满油箱，需加油 $a$ 升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢（）

A、爸爸 B、妈妈 C、一样 D、不确定

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5. 已知关于x，y的方程组 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 4 - a \\ x - y = 3 a \end{array}$ ，下列结论中正确的有（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时， $a = - 2$ ；
②当 $a = 1$ 时，方程组的解也是方程 $x + y = 4 + 2 a$ 的解；
③无论a取什么实数， $x + 2 y$ 的值始终不变；
④若用x表示y，则 $y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ ；

A、①④ B、①③④ C、②③④ D、①②

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二、填空题

6. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 3} = \frac{m x - 2}{9 - x^{2}} + 1$ 无解，则 $m$ 的值为．

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7. 工人师傅用如图 1 中的 100 块正方形瓷砖和 $a$ 块长方形瓷砖拼成如图 2 的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完。则 $a$ 的值可能是（）

A、272 B、265 C、254 D、232

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8. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 4 - a \\ x - y = 3 a \end{array}$ ，下列结论：①当这个方程组的解 $x$ ， $y$ 的值互为相反数时， $a = - 2$ ；②当 $a = 1$ 时，方程组的解也是方程 $x + y = 4 + 2 a$ 的解；③无论 $a$ 取什么实数， $x + 2 y$ 的值始终不变；④若用 $x$ 表示 $y$ ，则 $y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ ；其中正确的有．（请填上你认为正确的结论序号）

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9. 已知关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} x + 3 y = 4 - m \\ x - 2 y = 4 m - 1 \end{matrix}$ ，给出下列结论中正确的是（请填序号）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时， $m = - 2$ ；
②无论m取何值， $2 x y + y^{2} = 3 (1 + m) (1 - m)$ 恒成立；
③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0；
④无论m取什么实数， $2^{x} \cdot 4^{y}$ 的值始终为8．

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10. 如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，则一张小长方形的面积为.

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11. 对于实数 $a$ ，我们定义如下运算：若 $a$ 为非负数，则 $[a] = a - \frac{1}{2}$ ；若 $a$ 为负数，则 $[a] = a + \frac{1}{2}$ . 例如： $[1] = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, [- 0.5] = - 0.5 + \frac{1}{2} = 0$ . 则方程组 $\{\begin{array}{l} [m - 1] + 4 [n - 2] = 2 \\ [m - 1] - 2 [n - 2] = \frac{1}{2} \end{array}$ 的解为。

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12. 已知关于x，y的二元一次方程 $m x + n y = h$ 的解如下表：
x
…
$- 1$
0
1
2
3
4
5
…
y
…
8
6.5
5
3.5
2
0.5
$- 1$
…
已知关于x，y的二元一次方程 $a x - b y = c$ 的解如下表：
x
…
$- 1$
0
1
2
3
4
5
…
y
…
$- \frac{10}{3}$
$- 2$
$- \frac{2}{3}$
$\frac{2}{3}$
2
$\frac{10}{3}$
$\frac{14}{3}$
…
（1）仔细观察表中数据，直接写出关于 $x$ ， $y$ 二元一次方程组 $\{\begin{matrix} m x + n y = h \\ a x - b y = c \end{matrix}$ 的解为．
（2）关于 $x_{1}$ ， $y_{1}$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} m (x_{1} - y_{1}) - n (x_{1} + y_{1}) = h \\ a (x_{1} - y_{1}) + b (x_{1} + y_{1}) = c \end{matrix}$ 的解为．

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13. 关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 1 \end{array}$ ，则关于 $m$ ， $n$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} m + b_{1} (n + 3) = c_{1} + a_{1} \\ a_{2} m + b_{2} (n + 3) = c_{2} + a_{2} \end{array}$ 的解是 .

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14. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，记 $S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $S_{2} = \frac{2}{1 + a^{2}} + \frac{2}{1 + b^{2}}$ ，…， $S_{100} = \frac{100}{1 + a^{100}} + \frac{100}{1 + b^{100}}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + \dots + S_{100} =$ .

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三、综合题

15. 已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类
文学类
科技类
进货价（元/本）
16
24
销售价（元/本）
20
30

(1)、若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？

(2)、若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？

(3)、为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？

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16. 某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．

(1)、填表：

长方形铁片张数
正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中

1只横式无盖铁容器中

(2)、现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？

(3)、把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？

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17. 如果两个分式 $M$ 和 $N$ 满足 $M - N = k$ （ $k$ 为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数 $k$ 称 $M$ 为 $N$ 的“信度值”如分式 $M = \frac{2 x}{x - 1}, N = \frac{2}{x - 1}$ ，满足 $M - N = \frac{2 x}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} = 2$ ，则称 $\frac{2 x}{x - 1}, \frac{2}{x - 1}$ 为“兄弟分式”，整数2称 $\frac{2 x}{x - 1}$ 为 $\frac{2}{x - 1}$ 的“信度值”．

(1)、已知分式 $M = \frac{3 x + 2}{x + 2}, N = \frac{x - 2}{x + 2}$ ，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出 $M$ 为 $N$ 的“信度值” $k$ ．

(2)、已知x，y均为非零实数，分式 $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4 y^{2}}, \frac{x}{x + 2 y}$ 属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式 $\frac{2 x - y}{x + 2 y}$ 的值．

(3)、已知“兄弟分式”M，N，分式 $M = \frac{P}{x^{2} - 4}$ 为分式 $N = \frac{2 x}{x - 2}$ 的“信度值”是 $- 2$ ．
①求 $P$ （用含 $x$ 的代数式表示）；
②若 $M$ 的值为正整数， $x$ 为正整数，求 $x$ 的值．

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四、实践探究题

18. 问题：探究什锦糖的混合比例
【基本信息】
糖的种类
甲种糖
乙种糖
丙种糖
售价（元/千克）
30
20
12
进价（元/千克）
24
16
8
什锦糖的单价＝ $\frac{甲种糖的质量 \times 售价 + 乙种糖的质量 \times 售价 + 丙种糖的质量 \times 售价}{甲乙丙三种糖的总质量}$
【样品实验】
（1）甲种糖40千克，乙种糖30千克，丙种糖30千克混合成什锦糖样品1，求样品1的单价；
（2）甲种糖在40千克基础上减少 $m$ 千克，乙种糖30千克不变，丙种糖在30千克基础上增加 $n$ 千克（ $m$ ， $n$ 为正整数），混合成什锦糖样品2，用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示样品2的单价；
【解决问题】
（3）若样品2比样品1的单价少0.8元，求满足条件的什锦糖样品2中甲乙丙三种糖的质量之比．
（4）在（3）的条件下，若该商店销售什锦糖样品2的数量为每天420千克，求该商店销售样品2的日利润．

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19. 综合与实践

问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）．

杭州市居民生活用电分段及价格一览表

单位：元/千瓦时

用电分档		分时电价
用电分档		高峰电价	低谷电价
第一档	年用电a千瓦时及以下部分	0.568	0.288
第二档	年用电 $(a + 1) - 4800$ 千瓦时部分	b	c
第三档	年用电4801千瓦时及以上部分	0.868	0.588

注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加．

老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截止上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元．

（1）求表格中a的值．

数学思考：

（2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值．

（3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议．

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20. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计板材裁切方案？
素材1	图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm ，座垫尺寸为40cm×35cm ．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．
素材2	因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm ，宽为40cm ．（裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一	拟定裁切方案	若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法（可设裁切靠背m张，座垫n张）。方法一：裁切靠背16张和坐垫0张．方法二：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张．方法三：裁切靠背 ▲ 张和坐垫 ▲ 张．
任务二	确定搭配数量	若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三	解决实际问题	现需要制作500张学生椅，该工厂仓库现有8张座垫，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．

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21. 根据以下信息，探索解决问题：

背景：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 $1500$ 件新产品进行加工后再投放市场 $.$ 每天满工作量情况下，甲、乙两个工厂加工数量及每件加工费用保持稳定不变，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息．
信息 $1$	每天满工作量情况下，乙工厂每天加工数量是甲工厂每天加工数量的 $1.5$ 倍；
信息 $2$	每天满工作量情况下，甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 $10$ 天；
信息 $3$	每天满工作量情况下，甲工厂加工 $1$ 天，乙工厂加工 $2$ 天共需要 $10000$ 元；甲工厂加工 $2$ 天，乙工厂加工 $3$ 天共需要 $16100$ 元．
问题解决
问题 $1$	$1$ 设每天满工作量情况下，甲工厂每天加工数量为 $x$ 件，结合信息 $1$ 可得：乙工厂每天加工数量为件 $($ 请用 $x$ 的代数式表示 $)$ ．
问题 $2$	每天满工作量情况下，求甲工厂每天能加工多少件新产品？
问题 $3$	公司将 $1500$ 件新产品交给甲、乙两工厂一起加工，发现这批新产品的平均加工费用为整数，两工厂加工的时间之和不是整数 $.$ 请问交给甲工厂多少件新产品进行加工？

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卡片编号	①②	②③	③④	④⑤	①⑤
两数的和	$52$	$64$	$57$	$69$	$46$

x	…	$- 1$	0	1	2	3	4	5	…
y	…	$- \frac{10}{3}$	$- 2$	$- \frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$	2	$\frac{10}{3}$	$\frac{14}{3}$	…

种类	文学类	科技类
进货价（元/本）	16	24
销售价（元/本）	20	30

	长方形铁片张数	正方形铁片张数
1只竖式无盖铁容器中
1只横式无盖铁容器中

糖的种类	甲种糖	乙种糖	丙种糖
售价（元/千克）	30	20	12
进价（元/千克）	24	16	8