《整式的乘除》精选压轴题（1）—浙江省七（下）数学期末复习

试卷更新日期：2025-05-27 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 若 $A = (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) + 2$ ，则 $A$ 的末位数字是 ( )

A、6 B、7 C、3 D、5

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2. 如图，长方形中的阴影部分是两个边长分别为a， $b (a > b)$ 的正方形，若空白部分的面积与阴影部分的面积相等，则 $x =$ （）

A、 $\frac{a^{2} - a b}{a + b}$ B、 $\frac{a^{2} - a b + 2 b^{2}}{a + b}$ C、 $\frac{a^{2} + a b}{a - b}$ D、 $\frac{a^{2} - a b - 2 b^{2}}{a - b}$

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3. 如图，是由正方形①、④、⑤、⑥和长方形②、③无重合、无缝隙组成的一个长方形，若已知正方形⑥的边长，则下列各对图形的周长之差：①和②；①和④；③和④；④和⑤能计算的有( )

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

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4. 如图，将两张边长分别为 $a$ 和 $b (a > b)$ 的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置长方形内 (图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示. 设图 1 中阴影部分面积为 $S_{1}$ ，图 2 中阴影部分面积为 $S_{2}$ . 当 $A B - A D = 3$ 时， $S_{1} - S_{2}$ 的值为 ( )

A、 $3 a$ B、 $3 a - 3 b$ C、 $- 3 b$ D、 $3 b$

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5. 如图，有三张边长分别为 $a, b, c$ 的正方形纸片 $A, B, C$ ，将三张纸片按图 1，图 2 两种不同方式放置于同一长方形中. 记图 1 中阴影部分周长为 $l_{1}$ ，面积为 $S_{1}$ ；图 2 中阴影部分周长为 $l_{2}$ ，面积为 $S_{2}$ . 若 ${(\frac{l_{2} - l_{1}}{2})}^{2} = 3 (S_{2} - S_{1})$ ，则 $b$ 与 $c$ 满足的关系为（）

A、 $3 b = 5 c$ B、 $b = 2 c$ C、 $3 b = 7 c$ D、 $6 b = 7 c$

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6. 有两个正方形A ， B ，现将B放在A的内部如图①；再将A ， B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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7. 学校要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为 $S_{1}$ ；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为 $S_{2}$ ；具体数据如图所示．
则下列说法一定正确的是（）

A、 $S_{1} = {(a - b)}^{2}$ B、 $S_{2} = a^{2} - b^{2}$ C、 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{a + b}{a - b}$ D、 $S_{1} - S_{2} = b^{2}$

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8. 今天是 6 月 28 日，小吴用如图(1)所示的三张长方形纸片分别剪出数字 $6 、 2 、 8$ (如图 (2)(3)(4)，剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形 (所有长方形的宽度相等）。小吴用其中一个白色长方形和数字 8 中的黑色长方形拼成图形(5)，将数字 6 中剪去的两部分 $(A 、 B)$ 拼成长方形 (6)，经过测量和计算，小是发现长方形(6)的周长恰好是图形(5)的周长的 2 倍，则黑色长方形中长与宽的比是（）

A、11： 3 B、 $5 : 1$ C、7： 2 D、4： 1

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9. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉 (钱塘 (今杭州) 人)，下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的 “杨辉三角”.
$\dots \dots {(a + b)}^{1} = a + b$
$∵ {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
$\dots \dots {(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$\dots \dots {(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$
此图揭示了 ${(a + b)}^{n}$ ( $n$ 为非负整数) 的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过 7 天还是星期三，那么再过 $8^{2024}$ 天是星期几 ( )

A、星期三 B、星期四 C、星期二 D、星期五

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二、填空题

10. 对正整数 $n$ ，规定 $n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \dots \times 2 \times 1$ ，记 $S = 1! \times 2! \times \dots \times 24!$ ，若正整数 $k (k \leq 100)$ 使得 $S \times k$ ! 为完全平方数，请写出一个符合条件的 $k$ 的值.

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11. 将两个边长分别为a和b的正方形按图1所示方式放置，其未叠合部分（阴影部分）的面积为S₁ ，周长为 $l_{1} ；$ 再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为S₂ ，周长为 $l_{2}$ .若 $l_{1} - l_{2}$ =48，ab＝13，则S₁+S₂=..

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12. 将三张边长分别为 $a, b, c (a > b > c)$ 的正方形纸片 $A, B, C$ 按图 1，图 2 两种不同方式摆放于两个长方形中. 设图 1 中的阴影部分周长为 $C_{1}$ ，面积为 $S_{1}$ ，图 2 中的阴影部分周长为 $C_{2}$ ，面积为 $S_{2}$ .若 $S_{1} - S_{2} = {(C_{1} - C_{2})}^{2}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ .

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13. 如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形 $A B C D$ 和小正方形 $E F G H$ ．则：
（1）由 $S_{正方形 A B C D} = S_{正方形 E F G H} + 4 S_{△ A E H}$ 可列等式： ${(a + b)}^{2} =$ +；
（2）若 $S_{正方形 A B C D} = 2 S_{正方形 E F G H}$ ，那么 $a$ 与 $b$ 之间的数量关系是．

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14. 如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成 $M \times N (M \geq N)$ ，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成 $A = M \times N$ 的过程，称为“完美分解”．例如，因为 $525 = 21 \times 25$ ， 21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”．
⑴最小的“如意数”是；
⑵把一个“如意数”A进行“完美分解”，即 $A = M \times N$ ， M与N的和记为 $P$ ， M与N的差记为 $Q$ ，若 $\frac{P}{Q}$ 能被11整除，则A的值为．

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三、解答题

15. 数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三类，拼成了一个如图2所示的正方形.


(1)、请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和.
方法1：                                   ；
方法2：                                   .

(2)、请直接写出三个代数式： ${(a + b)}^{2}$ ， $a^{2} + b^{2}$ ， $a b$ 之间的一个等量关系                                          .

(3)、若要拼出一个面积为 $(a + 2 b) (a + b)$ 的矩形，则需要 $A$ 类卡片               张， $B$ 类卡片               张， $C$ 类卡片                      张.

(4)、根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 $m + n = 5$ ， $m^{2} + n^{2} = 20$ ，求 $m n$ 和 ${(m - n)}^{2}$ 的值.
②已知 ${(x - 2021)}^{2} + {(x - 2023)}^{2} = 34$ ，求 ${(x - 2022)}^{2}$ .

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16. 对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ；如图2可得等式： ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ；现用四个长与宽分别为 $a 、 b$ 的小长方形拼成如图3所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题：

(1)、【探索发现】
观察图3，写出 ${(a + b)}^{2}, {(a - b)}^{2}, a b$ 这三个代数式之间的等量关系式

(2)、【解决问题】
①若 $x + y = 5, x y = \frac{9}{4}$ ，则 $x - y =$ ▲ .
②当 $(x - 75) (50 - x) = 100$ 时，求 ${(2 x - 125)}^{2}$ 的值.

(3)、【拓展提升】
如图4，将两个边长分别为 $a$ 和 $b$ 的正方形拼在一起， $B, C, G$ 三点在同一条直线上，连结 $B D 和 B F$ .若这两个正方形的边长满足 $a + b = 10, a b = 20$ ，请求出阴影部分的面积.

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17. 小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式 $x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 2$ 进行因式分解. 小磊认为该整式一定有一个因式 $x + 2$ ，小轩认为必有因式是 $x - 2$ ，两人找到老师寻求帮助. 老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算. 若整式 $A$ 能被整式 $B$ 整除，则 $B$ 必为 $A$ 的一个因式. 老师给出了演算方法：

(1)、观察老师的演算后，你认为同学的想法是对的；

(2)、已知多项式 $x^{3} - 6 x^{2} + 7 x + 6$ 的其中一个因式为 $x - 3$ ，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式 $x^{3} - 6 x^{2} + 7 x + 6$ 进行因式分解；

(3)、若多项式 $x^{3} - 3 x^{2} + m x + n$ 能因式分解成 $x + 1$ 与另一个完全平方式，求 $m$ 与 $n$ 的值.

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