《相交线与平行线》精选压轴题—浙江省七（下）数学期末复习

步骤$1$：将一块含$30°(\angle GFE=30°)$的直角三角尺$(△EFG)$如图放置，使得点$E$ ， $F$落于直线$CD$上，直角顶点$G$位于两平行线之间；

步骤$2$：将另一块含$45°(\angle MPN=\angle MNP=45°)$的直角三角尺$(△PMN)$进行放置，使得点$P$落于直线$AB$上$($点$P$在点$A$的右边$)$ ， 边$MN$经过点$G$ ， 满足$\angle EGN=40°$；

根据以上步骤，$\angle APM$的度数可以是$①～⑥$选项中的哪三项( )

$①10°$；$②20°$；$③70°$；$④80°$；$⑤160°$；$⑥170°$ ．

（1）比较大小：$\angle 1+\angle 2$$\angle 3+\angle 4$ ． （填“$>$”或“$<$”或“$=$”）

（2）如图2，$\angle EFN$的平分线$FP$交直线$CD$于点P，记$\angle EHD=\alpha \left(0°<\alpha <90°\right)$ ， $\angle FPN=\beta$ ． 现保持三角板$EGH$不动，将三角板$FMN$从如图位置向左平移，若在运动过程中$MN$与$EH$始终平行，$\alpha$与$\beta$满足的数量关系为 ．

素材提供：“一副三角板，两条平行线”．三角板$ABC$与三角板$DEF$如图1所示摆放，其中$\angle BAC=30°$ ， $\angle DEF=45°$ ， $GH\text{∥}MN$、点A，B在直线$GH$上，点D，F在直线$MN$上．

动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论．

问题解决：小嵊将三角板$DEF$向右平移．

①如图2，当点E落在线段$AC$上时，求$\angle AEF$的度数．

②如图1，在三角板$DEF$平移过程中，连接$CE$ ， 记$\angle BCE$为$\alpha$ ， $\angle CEF$为$\beta$ ， 当点E在$BC$左侧时，$\beta -\alpha$的值是否为定值，若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．

思维拓展：小州和小嵊一起将两块三角板旋转，如图3，小州将三角板$ABC$绕点A以每秒$1°$的速度顺时针旋转，同时小嵊将三角板$DEF$绕点D以每秒$2°$的速度顺时针旋转，设时间为t秒，$\angle BAH=t°$ ， $\angle FDM=2t°$ ， 且$0\le t\le 150$ ， 若边$BC$与另一三角板的一条直角边（边$DE$ ， $DF$）平行时，请直接写出所有满足条件的t的值．

【发现】

（1）如图1，若点A在$△PMN$内，当$\angle P=40°$时，则$\angle PMA+\angle PNA=$          ；

（2）如图2，若点A在$△PMN$内，当$\angle P=60°$时，$\angle PMA+\angle PNA=$          ；

【探究】

若点A在$△PMN$内，请你判断$\angle PMA$ ， $\angle PNA$和$\angle P$之间满足怎样的数量关系，并写出理由；

【应用】

如图3，点A在$△PMN$内，过点P作直线$EF\parallel AB$ ， 若$\angle PNA=18°$ ， 求$\angle NPE$的度数；

【拓展】

如图4，当点A在$△PMN$外，请直接写出$\angle PMA$ ， $\angle PNA$和$\angle P$之间满足的数量关系           ．

（1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分．

（2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．

二、知识应用

如图1，把$△ABC$沿着射线$BC$方向平移到$△DEF$ ， 线段$AC$与$DE$交于点$M$ ．

（1）若$\angle B=60°,\angle F=70°$ ， 求$\angle EMC$的度数．

（2）若点$M$为$AC$的中点，$△ABC$的面积为8．

①求证：点$E$是$BC$的中点．

②求$△MEC$的面积．

三、知识拓展

（3）如图2，把$△ABC$沿着射线$BC$方向平移到$△DEF$ ， 线段$AC$与$DE$交于点$M$ ， 点$N$为$EF$的中点，$DN$与$MF$交于点$G$ ， 若$DM:ME=3:1$ ， $S_{△NFG}=2$时，求$△ABC$的面积．

【探索发现】：

（1）如图1，当$\angle F=60°$时，求证：$\angle AEF+\angle FGC=60°$；

【深入探究】：

（2）如图2点P、Q分别是直线$CD$上的点，且$\angle PFQ=\angle EFG=90°$ ， 直线$MN\text{∥}FG$ ， 交$FQ$于点K，“智胜小组”探究$\angle FKN$与$\angle PFE$之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的探究基础上，$\angle NKQ=\angle AEF$ ， “科创小组”探究$\angle CPF$与$\angle EFK$之间的数量关系．请直接写出它们的关系，不需要说明理由．

【探索发现】（1）已知：如图1，$AB\text{∥}CD$ ， 点$P$在$AB$ ， $CD$之间，连接$AP$ ， $CP$ ．

易证：$\angle APC=\angle BAP+\angle PCD$ ．

下面是两位同学添加辅助线的方法：

请你选择一位同学的方法，并进行证明：

【深入思考】（2）如图4，点$E$ ， $F$分别是射线$AB$ ， $CD$上一点，点$G$是线段$CF$上一点，连接$AG$并延长，交直线$EF$于点$P$ ， 连接$AC$ ， $EG$ ， 若$\angle PAC+\angle PEG=\angle AGE$ ， 求证：$AC\text{∥}EF$；

【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，$AB\text{∥}CD$ ， $AH$平分$\angle PAC$ ， $FH$平分$\angle PFC$ ， $AH$与$FH$交点$H$ ， 若$\angle CAH\text{＝}25°$ ， $\angle AHF=\angle AEG$ ， $\angle PGE=2\angle CAH+3\angle PEG$ ． 求$\angle PFC$的度数．