锐角三角函数-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题-在线组卷题库

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线，点E在 $B D$ 上，过点E作 $E F ⊥ B D$ ，交 $A B$ 于点F．若 $B E = 4$ ， $B F = 5$ ， $D E = E F$ ，则 $B C =$ ．

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{°}$ ， $s i n ∠ A C B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，点D为斜边AC上一点，连接BD，将 $△ B D C$ 沿BD翻折得到 $△ B D E$ ， BE与AC交于点F，当 $D E ⊥ A C$ 时，则 $\frac{E D}{B D} =$ .

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3. 如图，在菱形 $A O B C$ 中， $∠ A O B = 60 °$ ，其顶点 $A$ 落在反比例函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{x}$ 的图象上，顶点 $B$ 落在 $x$ 轴的正半轴上，顶点 $C$ 落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则 $k$ 的值为．

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4. 如图，身高1.6米的小亮站在 $B$ 点测得旗杆 $C D$ 的仰角为 $27 °$ ，小亮向旗杆走了6米到达 $F$ 点，测得旗杆 $C D$ 的仰角为 $63 °$ ，则旗杆的高度为米．（ $s i n 27 ° \approx 0.45$ ， $c o s 27 ° \approx 0.90$ ， $t a n 27 ° \approx \frac{1}{2}$ ）

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 10$ ， $E$ ， $F$ 是 $B C$ 边上两点，且 $B E = 3$ ， $C F = 2$ ，连接 $A F$ ， $D E$ ， $A F$ 和 $D E$ 交于点 $G$ ，连接 $B G$ ，则 $cos ∠ A B G$ 的值是．

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6. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - \frac{2}{5} \sqrt{3} x^{2} + \frac{2}{5} \sqrt{3} x + \frac{12}{5} \sqrt{3}$ 的图象与 $x$ 轴分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，过顶点 $C$ 的直线 $l ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，点 $M$ 为线段 $B C$ 上一点，点 $N$ 在线段 $C D$ 上，且 $C N = 2 B M$ ，当 $\frac{1}{2} B N + D M$ 取最小值时，则 $D N =$ ．

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7. 如图，梯子 $A B = A C = a$ ，梯子与地面的夹角为 $α$ ，则两梯脚之间的距离 $B C$ 为（）

A、 $a \cdot \sin α$ B、 $a \cdot \cos α$ C、 $2 a \cdot \sin α$ D、 $2 a \cdot \cos α$

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8. 在 $△ A B C$ 中，若角 $A$ ， $B$ 满足 $| c o s A - \frac{\sqrt{3}}{2} | + (1 - t a n B)^{2} = 0$ ，则 $∠ C$ 的大小是（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $105 °$

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9. 图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄AB与地面DE平行，支架AC、踏板CD的长分别为a，b，∠ACD=90°，记CD与地面DE的夹角为θ，则跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离表示正确的是（）

A、 $a c o s θ + b s i n θ$ B、 $a s i n θ + b s i n θ$ C、 $a c o s θ + b c o s θ$ D、 $a s i n θ + b c o s θ$

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10. 如图、点 $E ， F 、 G$ 分别是正方形 $A B C D$ 边 $A B ， C D ， D A$ 上的点，且 $E G = G F ， ∠ E G F = 90 °$ ．连接 $E F$ 并延长，交 $A D$ 的延长线于点M，设 $∠ M = α$ ，则 $\frac{D G}{D F} =$ ( )

A、 $\frac{1 - \sin α}{1 + \sin α}$ B、 $\frac{1 + \sin α}{1 - \sin α}$ C、 $\frac{1 - \tan α}{1 + \tan α}$ D、 $\frac{1 + \tan α}{1 - \tan α}$

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11. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $A B C D$ 如图所示．点E为小正方形的顶点，延长 $C E$ 交 $A D$ 于点F， $B F$ 分别交 $A M$ ， $D N$ 于点G，H，过点D作 $D N$ 的垂线交 $B F$ 延长线于点K，连结 $E K$ ．若 $△ B C F$ 为等腰三角形， $A G = \frac{5}{2}$ ，则 $\frac{E K}{D H}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{97}}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{97}}{20}$

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12. 我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测量一条河的宽度 $M N$ ，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M ， N两处的俯角分别为 $α = 60 °$ 和 $β = 37 °$ ，测得无人机离水平地面的高度 $P Q$ 为240米，若Q ， M ， N三点在同一条水平直线上，则这条河的宽度 $M N$ 为多少米？（参考数据： $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果保留整数）

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13. 长沙香炉洲大桥全线长约三千米，横跨湘江，连通大泽湖街道和丁字湾街道，其中西汊航道独塔斜拉桥塔高202米，刷新了长沙跨江大桥的最高纪录．某校数学实践小组的同学利用课余时间对该桥进行了实地测量，得到如下数据： $∠ D A C = 30 °$ ， $∠ A B D = 45 °$ ， $C D = 202$ 米．

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、若一辆小车以15米/秒的速度从A往B行驶，问小车能否在40秒钟内通过 $A B$ 路段？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sqrt{5} \approx 2.2$ ）

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14. 综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法.
【实践活动】如图1，小明、小充分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角 $∠ A B D = 4 5^{°}$ ， $∠ A C D = 5 3^{°}$ ， $B C = 15 m$ ，点B，C，D在地面的同一条直线上， $A D ⊥ B D$ 于点D.（测角仪的高度忽略不计）

(1)、【问题解决】计算热气球离地面的高度AD.(参考数据： $s i n 5 3^{°} \approx \frac{4}{5}$ ， $c o s 5 3^{°} \approx \frac{3}{5}$ ， $t a n 5 3^{°} \approx \frac{4}{3}$ )

(2)、【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案.
爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高. 根据他的想法与思路，完成以下填空：
如图2，在锐角三角形ABC中，设 $∠ A B C = α$ ， $∠ A C B = β$ ， $B C = m$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D，用含 $α$ ， $β$ 和m的代数式表示AD.
解：设 $A D = x$ ，因为 $t a n α = \frac{A D}{B D} = \frac{x}{B D}$ ，
所以 $B D = \frac{x}{t a n α}$ .
同理，因为 $t a n β = \frac{A D}{C D} = \frac{x}{C D}$ ，
所以 $C D =$ ①.
因为 $B C = B D + C D = m$ ，
解得 $x =$ ②.
即可求得AD的长.

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15. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $C D$ 上．

(1)、【尝试初探】
如图1，若平行四边形 $A B C D$ 是正方形， $E$ 为 $B C$ 的中点， $∠ A E F = 90 °$ ，求 $\frac{C E}{D F}$ 的值；

(2)、【深入探究】
如图2， $∠ B = 45 °$ ， $∠ A E F = 90 °$ ， $A E = E F$ ，求 $\frac{C E}{D F}$ 的值；

(3)、【拓展延伸】
如图3， $B F$ 与 $D E$ 交于点 $O$ ， $t a n ∠ B O E = t a n ∠ A = \frac{4}{3}$ ， $\frac{A B}{A D} = \frac{5}{7}$ ， $\frac{B E}{E C} = \frac{3}{4}$ ，求 $\frac{C F}{D F}$ 的值．

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16. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $C D$ 中点，连接 $O E$ ．

(1)、求证： $O E = \frac{1}{2} B C$ ；

(2)、若 $∠ B A C = 90 ° ， sin ∠ A C B = \frac{3}{5} ， A B = 2$ ，求 $O E$ 的长．

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17. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点C、点D为 $⊙ O$ 上异于A、B的两点，连接 $C D$ ，过点C作 $C E ⊥ D B$ ，交 $B D$ 的延长线于点E，连接 $A C$ 、 $A D$ ．

(1)、若 $∠ A B D = 2 ∠ B D C$ ，求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、连接 $B C$ ，若 $B C = 4$ ， $tan ∠ B D C = \frac{1}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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18. 阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形 $A B C$ 中，求证： $\frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$
这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，过点A作 $A D ⊥ B C$ ，垂足为D，则在 $R t △ A B D$ 和 $R t △ A C D$ 中由正弦定义可完成证明．
解：如图，过点A作 $A D ⊥ B C ，$ ，垂足为D，
在 $R t △ A B D$ 中， $s i n B = \frac{A D}{A B}$ ，则 $A D = c s i n B$
$R t △ A C D$ 中， $s i n C = \frac{A D}{A C}$ ，则 $A D = b s i n C$
所以 $c s i n B = b s i n C$ ，即 $\frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$

(1)、在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（　　）

A、数形结合的思想； B、转化的思想； C、分类的思想

(2)、用上述思想方法解答下面问题．
在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 6 0^{°} ， A C = 6 ， B C = 8 ，$ ，求 $A B$ 和 $△ A B C$ 的面积．

(3)、用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线）
在锐角三角形 $A B C$ 中， $A C = 10 ， A B = 5 \sqrt{6} ， ∠ C = 60 °$ ，求 $∠ B$ 的度数．

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19. （阅读理解）设点 $P$ 在矩形 $A B C D$ 内部，当点 $P$ 到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点 $P$ 为该边的“和谐点”.例如：如图1，矩形 $A B C D$ 中，若 $P A = P D$ ，则称 $P$ 为边 $A D$ 的“和谐点”.
（解题运用）已知，点 $P$ 在矩形 $A B C D$ 内部，且 $A B = 10$ ， $B C = 8$ .

(1)、设 $P$ 是边 $A D$ 的“和谐点”，则 $P$ ▲ 边 $B C$ 的“和谐点”（填“是”或“不是”）；连接 $P C$ ， $S_{四边形 A P C B} = 4 S_{△ A P D}$ ，求 $P A$ 的值.

(2)、若 $P$ 是边 $B C$ 的“和谐点”，连接 $P A$ ， $P B$ ，当 $∠ A P B = 90 °$ 时，求 $P A$ 的值；

(3)、如图2，若 $P$ 是边 $A D$ 的“和谐点”，连接 $P A$ ； $P B$ ， $P D$ ，求 $\frac{1}{\tan ∠ PAB \cdot \tan ∠ PBA}$ 的最大值.

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锐角三角函数-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题

一、填空题

二、选择题

三、解答题

四、实践探究题

五、证明题

六、阅读理解题