图形的相似与投影-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题-在线组卷题库

1. 凸透镜成像的原理如图所示， $A D / / l / / B C$ ．若焦点 $F_{1}$ 到物体AH的距离与到凸透镜的中心 $O$ 的距离之比为6：5，若物体 $A H = 4 c m$ ，则其像CG的长为（）

A、 $\frac{5}{3} c m$ B、3cm C、 $\frac{10}{3} c m$ D、 $\frac{24}{5} c m$

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2. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线AC，BD交于点 $O$ ，点 $E$ 为BC中点， $D E ⊥ A C$ 于点 $P$ ，已知 $A B = 5, B D = x, B C = y$ .当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（）

A、 $(x + y)^{2}$ B、 $(x - y)^{2}$ C、 $x^{2} + y^{2}$ D、 $x^{2} - y^{2}$

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3. 若△ABC∽△DEF，且S_△_ABC：S_△_DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）

A、3：4 B、4：3 C、 $\sqrt{3}$ ：2 D、2： $\sqrt{3}$

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4. 如图，已知点A在函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k$ 是常数， $k > 0$ ， $x > 0)$ 图象上，点 $C$ 在函数 $y = - \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象上，连结AC交x轴于点B，D是x轴上的点，若 $O A = A B$ ， $B C = C D$ ，且 $△ B C D$ 的面积为1，则 $△ A O B$ 的面积为（）

A、 $3 + \sqrt{5}$ B、 $3 + \sqrt{6}$ C、 $3 + \sqrt{7}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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5. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 1, E, F$ 是AD上的两个点，且 $∠ A B E = ∠ C B F$ ，记BE长为x，BF长为 $y$ ，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（）

A、 $x + y$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ C、 $x^{2} + y^{2}$ D、 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

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6. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”。如图是由四个全等的直角三角形（△ABF ， △DAE ， △BCG ， △CDH）拼接而成，连结HF并延长，交BC于点I。若BF=2，EF=1，则BI的长为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{13}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{13}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 若 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值为.

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A C$ 为对角线， $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $C F ∥ B E$ ， $\frac{B C}{D F} = \frac{1}{2}$ ，则 $S_{△ B C E} : S_{△ A C F}$ 的值为．

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9. 如图， $n$ 个边长为 $1$ 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， $M_{3}$ ， $\dots M_{n}$ 为边 $B_{1} B_{2}$ ， $B_{2} B_{3}$ ， $B_{3} B_{4}$ ， $\dots$ ， $B_{n} B_{n + 1}$ 的中点， $△ B_{1} C_{1} M_{1}$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B_{2} C_{2} M_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ， $\dots △ B_{n} C_{n} M_{n}$ 的面积为 $\frac{1}{1020}$ ，则 $n =$ ．

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10. 如图， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 位似，位似中心为点O，且 $O A^{'} = 2 A A^{'}$ ，若 $△ A B C$ 的周长为9，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长为．

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11. 如图，点P是正方形 $A B C D$ 的中心，过点P的线段 $E F$ 和 $G H$ 将正方形 $A B C D$ 分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形 $P Q M N$ ．连接 $H F$ ，记 $△ P H F$ 和 $△ H C F$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，设 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = k$ $(k > 1)$ ；

(1)、若A ， B ， Q三点共线，则 $k =$

(2)、正方形 $A B C D$ 和 $C J K L$ 的面积之比为．（用含k的代数式表示）

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12. 如图， $l_{1}, l_{2}$ 分别是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 2)$ 和 $y = \frac{2}{x}$ 在第一象限内的图象，点A在 $l_{1}$ 上，线段 $O A$ 交 $l_{2}$ 于点 $B$ ，作 $A C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，交 $l_{2}$ 于点 $D$ ，延长 $O D$ 交 $l_{1}$ 于点 $E$ ，作 $E F ⊥ x$ 轴于点 $F$ ，下列结论：① $S_{△ A O D} = S_{四边形 C D E F}$ ；② $B D ∥ A E$ ；③ $\frac{B D}{A E} = \frac{2}{k}$ ；④ $E F^{2} = A C \cdot C D$ ．其中正确的是（填序号）

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13. 在矩形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ．

(1)、如图1，请用尺规在边 $A D$ 上求作一点 $P$ ，连接 $P C$ ，使 $P D + P C = A D$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、如图2，已知点 $P$ 在边 $A D$ 上，且 $P D + P C = A D$ ，连接 $P B$ ，交 $A C$ 于点 $Q$ ，若 $A B = 6$ ， $A D = 8$ ，求 $A Q$ 的长．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 12 0^{°}$ ，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E， F， $B E < B F$ ，连接AE， AF， $∠ E A F = 6 0^{°}$ .

(1)、判断 $△ A E F$ 的形状，并说明理由.

(2)、求证： $△ A B E ~ △ C A F$ .

(3)、若 $B E = 2$ ， $E F = 3$ ，求线段CF的长.

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15. 已知线段 $a, b$ 满足 $\frac{b}{a} = \frac{1}{4}$ ，且 $a - 2 b = 6$ ．

(1)、求线段 $a, b$ 的长．

(2)、若线段 $c$ 是线段 $a, b$ 的比例中项，求线段 $c$ 的长．

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16. 为响应国家节能减排的号召，广东新农村建设把主要村道道路上安装了太阳能路灯．如图（a）所示是行人在某村村道路灯下的影子，图（b）是该村村道上安装的两盏高度不同的太阳能路灯的示意图，其中电线杆 $A B$ 的高度为 $4.8 m$ ，电线杆 $C D$ 的高度为 $6.4 m$ ， $A C$ 的长为 $30 m$ ．身高 $1.6 m$ 的聪聪同学（ $E F$ ）在两盏路灯之间走动，他在 B，D 两盏路灯下形成的影长分别记作 $E M$ 和 $E N$ ．（A，E，C，M，N在同一直线上，电线杆和人均垂直于地面）

(1)、请在图（b）中画出聪聪同学在路灯D照射下形成的影长 $E N$ ；

(2)、当聪聪同学站在两盏路灯的中间（即E为 $A C$ 的中点）时，请求出影长 $M N$ ；

(3)、若影长端点N处有一个竹竿 $N P$ ，它在路灯B 的照射下其影长端点恰好与点M重合，同时影长端点M处也有一个竹竿 $M Q$ ，它在路灯D的照射下其影长端点恰好与点N重合．（竹竿 $N P$ ， $M Q$ 均垂直于地面）请回答下列问题：
①设 $M E$ 的长为 $x m$ ，则 $M Q$ 的长为 _______ $m$ （请用含有x的代数式来表示）；
②请判断 $\frac{1}{N P} + \frac{1}{M Q}$ 的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

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17. 【证明体验】
（1）如图1， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ A D C = 60 °$ ，点E在 $A B$ 上， $A E = A C$ ．求证： $D E$ 平分 $∠ A D B$ ．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为 $A B$ 上一点，连结 $F C$ 交 $A D$ 于点G．若 $F B = F C$ ， $D G = 2 ， C D = 3$ ，求 $B D$ 的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ B C A = 2 ∠ D C A$ ，点E在 $A C$ 上， $∠ E D C = ∠ A B C$ ．若 $B C = 5 ， C D = 2 \sqrt{5}, A D = 2 A E$ ，求 $A C$ 的长．

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18.

(1)、【思考尝试】
如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $A B$ 上一点， $D F ⊥ C E$ 于点 $F$ ， $G D ⊥ D F$ ， $A G ⊥ D G$ ， $A G = C F$ ，求证：四边形 $A B C D$ 是正方形；

(2)、【实践探究】
如图2，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $A B$ 上一点， $D F ⊥ C E$ 于点 $F$ ， $A H ⊥ C E$ 于点 $H$ ， $G D ⊥ D F$ 交HA的延长线于点 $G$ ，求线段 $F H, A H, C F$ 的数量关系；

(3)、【拓展迁移】
如图3，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $A B$ 上一点， $A H ⊥ C E$ 于点 $H$ ，点 $M$ 在线段 $C H$ 上，且 $A H = H M$ ，连接 $A M$ ， $B H$ ， $A C$ ．
①求证： $∠ H B E = ∠ M C A$ ；
②直接写出线段 $C M$ ， $B H$ 的数量关系．

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19. 如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜 $M N$ ，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头 $A B$ 进行移动，使物距 $O C$ 为32厘米，光线 $A O 、 B O$ 传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像 $A^{'} B^{'}$ ，此时测得像距 $O D$ 为 $12.8$ 厘米．

(1)、求像 $A^{'} B^{'}$ 的长度．

(2)、已知光线 $A P$ 平行于主光轴l，经过凸透镜 $M N$ 折射后通过焦点F，求凸透镜焦距 $O F$ 的长．

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20. 如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E ， F是弧BC上一点，连结AC ， CF ， BF ， AF ， AF与CD交于点G。

(1)、求证：∠AFC=∠CAB；

(2)、如图2，连结CB交AF于点H。
①当AF⊥CB时，试判断△CGF的形状，并说明理由；
②在①的条件下，延长CF ， AB相交于点Q ，若CD=10，AB=8，求 $\frac{Q F}{A F}$ 的值。

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图形的相似与投影-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题

一、选择题

二、填空题

三、作图题

四、解答题

五、实践探究题

六、综合题