圆的综合-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题-在线组卷题库

1. 如图，AB切 $⊙ O$ 于点B，OA交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，连结 $C D, B D, ∠ D = 2 5^{°}$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $2 5^{°}$ B、 $3 0^{°}$ C、 $4 0^{°}$ D、 $4 5^{°}$

查看试题解析

2. 如图，在半径为4的扇形AOB中， $∠ A O B = 4 5^{°}$ ，点 $P$ 为OB中点，作 $P Q ⊥ O B$ 交OA于点 $Q$ ，则 $\overset{⌢}{A B}, A Q, Q P, P B$ 围成的图形（阴影部分）的周长为．

查看试题解析

3. 如图，在 $⊙ O$ 中，已知弦 $A C, B D$ 相交于点 $E$ ，连接 $A D, A C = B D$ ．

(1)、求证： $∠ A = ∠ D$ ．

(2)、若 $A C ⊥ B D$ ， $⊙ O$ 的半径为4，求 $\overset{⌢}{C D}$ 的长．

查看试题解析
4. 如图，已知 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D$ 是 $A B$ 延长线上的一点， $A E ⊥ C D$ 交 $D C$ 的延长线于 $E$ ， $C F ⊥ A B$ 于 $F$ ，且 $C E = C F$ ．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 4$ ， $∠ C A B = 30 °$ ，求 $A E$ 的长．

查看试题解析
5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O, A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，点 $P$ 在 $A C$ 延长线上， $∠ P B C = ∠ B D C$ ．

(1)、求 $∠ C A D$ 的度数；

(2)、若 $A D = 2$ ，求 $⊙ O$ 半径的长；

(3)、求证： $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线．

查看试题解析

6. 已知直线 $l$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D$ ．

(1)、如图1，BE是 $⊙ O$ 的直径，延长BE与直线 $l$ 交于点 $A$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ l$ ，垂足为 $C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接BD ．若 $B C = 5, A C = 12$ ，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ▲ ，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分）

(2)、如图2，点 $P$ 是圆上一点，请用尺规在直线 $l$ 上求作一点 $Q$ ，使得PQ与 $⊙ O$ 相切（不写作法，保留作图痕迹）．

查看试题解析

7.

(1)、【问题情境】
如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转 $4 5^{°}$ （如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 ▲ 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略：

(2)、【操作实践】
如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边 $a 、 b 、 c 、 d$ 之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽像成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点 $P$ 为端点的四条线段之间的数量关系；

(3)、【探究应用】
如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将 $△ P D C$ 绕点 $P$ 逆时针旋转，他发现旋转过程中 $∠ D A P$ 存在最大值．若 $P E = 8, P F = 5$ ，当 $∠ D A P$ 最大时，求AD的长；

(4)、如图6，在RtABC中， $∠ C = 9 0^{°}$ ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD ．若 $A C + C D = 5, B C + C E = 8$ ，求 $A E + B D$ 的最小值．

查看试题解析

8. 阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点 $+$ 定长”：
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 56 °$ ， D是 $△ A B C$ 外一点，且 $A D = A C$ ，求 $∠ B D C$ 的度数．
解：由题意，若以点 $A$ （定点）为圆心， $A B$ （定长）为半径作辅助圆 $⊙ A$ （可在图1中画出辅助圆 $⊙ A$ ），则点 $C$ 、 $D$ 必在 $⊙ A$ 上， $∠ B A C$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆心角，而 $∠ B D C$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 所对的圆周角，从而可容易得到 $∠ B D C =$ ________ $°$ ．
②类型二，“定角 $+$ 定弦”：
如图2， $Rt △ A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 12$ ， $B C = 8$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 内部的一个动点，且满足 $∠ P A B = ∠ P B C$ ，求线段 $P C$ 长的最小值．
请将以下解题过程补充完整．
解：∵ $∠ A B C = 90 °$ ，
∴ $∠ A B P + ∠ P B C = 90 °$ ，
∵ $∠ P A B = ∠ P B C$ ，
∴ $∠ A B P + ∠ P A B = 90 °$ ，
∴ $∠ A P B =$ _______ $°$ ，（定角）
∴点 $P$ 在以 $A B$ （定弦）为直径的 $⊙ O$ 上，
如图2，连接 $O C$ 交 $⊙ O$ 于点 $P$ ，此时 $P C$ 最小．
请完成后面的解题过程．
（2）【方法应用】如图3，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $P$ 是 $B C$ 边上一动点（点P不与B，C重合），连接 $A P$ ，作点 $B$ 关于直线 $A P$ 的对称点 $M$ ，则线段 $M C$ 的最小值为________（直接写结果）．
（3）【能力拓展】如图4，在正方形 $A B C D$ 中， $A D = 10$ ，动点E，F分别在边 $D C$ ， $C B$ 上移动，且满足 $D E = C F$ ．连接 $A E$ 和 $D F$ ，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点 $P$ 的运动路径长．

查看试题解析

9. 如图，在Rt△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD=36°，BC=10，求 $\overset{⌢}{B D}$ 的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证： $2 C E^{2} = A B \cdot E F$ ．

查看试题解析

圆的综合-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题

一、选择题

二、填空题

三、证明题

四、作图题

五、实践探究题

六、阅读理解题

七、综合题