广东省惠州市惠东县2025届高三三模数学试题

试卷更新日期：2025-02-25 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}, B = \{y | y = x^{2} - 1, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 2\}$ B、 $\{0, 1, 3\}$ C、 $\{- 1, 0, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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2. 把函数 $y = ln (x + 1)$ 的图象按向量 $\vec{m} = (2, 0)$ 平移，得到 $y = f (x)$ 的图象，则 $f (x) =$ （）

A、 $ln (x - 1)$ B、 $ln (x + 3)$ C、 $ln (x + 1) + 2$ D、 $ln (x + 1) - 2$

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3. 函数 $f (x) = - 3 tan (2 x - 7)$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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4. 已知空间向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足 $\vec{m} - \vec{n} = (1, 2, 3), \vec{m} + \vec{n} = (0, - 2, 1)$ ，则 $| \vec{m} |^{2} - | \vec{n} |^{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、0 D、 $- 1$

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5. 已知 $a, b \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $\frac{b}{a} < 1$ C、 $\lg (a - b) > 0$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$

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6. 球面上有三点 $A, B, C$ ，若 $A B = 6, B C = 8, A C = 10$ ，且球心到 $△ A B C$ 所在平面的距离，等于球的半径的一半，则该球的球面面积为（）

A、 $\frac{400 π}{3}$ B、 $300 π$ C、 $1200 π$ D、 $1600 π$

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7. 设10≤x₁＜x₂＜x₃＜x₄≤10⁴ ， x₅=10⁵ ，随机变量 $ξ_{1}$ 取值x₁、x₂、x₃、x₄、x₅的概率均为0.2，随机变量 $ξ_{2}$ 取值 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 、 $\frac{x_{2} + x_{3}}{2}$ 、 $\frac{x_{3} + x_{4}}{2}$ 、 $\frac{x_{4} + x_{5}}{2}$ 、 $\frac{x_{5} + x_{1}}{2}$ 的概率也均为0.2，若记 $D ξ_{1}$ 、 $D ξ_{2}$ 分别为 $ξ_{1}$ 、 $ξ_{2}$ 的方差，则（　　）

A、 $D ξ_{1}$ > $D ξ_{2}$ B、 $D ξ_{1}$ = $D ξ_{2}$ C、 $D ξ_{1}$ < $D ξ_{2}$ D、 $D ξ_{1}$ 与 $D ξ_{2}$ 的大小关系与x₁、x₂、x₃、x₄的取值有关

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8. 有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字7时，另外一面必须写着字母 $H$ .你的任务是：为了检验下面4张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看哪些牌？（）

A、①② B、②③ C、②④ D、④③

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.

9. 有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = x_{i} + c$ ( $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n), c$ 为非零常数，则（）

A、两组样本数据的样本平均数相同 B、两组样本数据的样本中位数相同 C、两组样本数据的样本标准差相同 D、两组样本数据的样本极差相同

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10. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 与等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}, T_{n}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、数列 $\{2^{a_{n}}\}$ 是等比数列 B、 $T_{n}$ 可能为 $2^{n} - 1$ C、数列 $\{\frac{S_{n}}{n - 1}\}$ 是等差数列 D、数列 $\{b_{n}^{2}\}$ 是等比数列

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11. 曲线 $C$ 是平面内与三个定点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 和 $F_{3} (0, 1)$ 的距离的和等于 $2 \sqrt{2}$ 的点的轨迹， $P$ 为 $C$ 上一点，则（）

A、曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称 B、存在点P，使得 $|P F_{3}| = \sqrt{2}$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值是1 D、存在点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2}$ 为钝角

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ ；

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13. 函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，若 $a, b, c$ 成等比数列且 $f (0) = - 4$ ，则 $f (x)$ 值域为.

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14. 设 $[x]$ 表示不超x的最大整数（如 $[2] = 2, [\frac{5}{4}] = 1$ ）．对于给定的 $n \in N^{*}$ ，定义 $C_{n}^{x} = \frac{n (n - 1) \dots (n - [x] + 1)}{x (x - 1) \dots (x - [x] + 1)}, x \in [1, + \infty)$ ，则 $C_{8}^{\frac{3}{2}} =$ ；当 $x \in [2, 3)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 在△ABC中，∠A=60°，c= $\frac{3}{7}$ a．

(1)、求sinC的值；

(2)、若a=7，求△ABC的面积．

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 1$ ，（ $a > 0$ ）， $g (x) = x^{3} + b x$
（1）若曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值
（2）当 $a = 3, b = - 9$ 时，若函数 $f (x) + g (x)$ 在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围

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17. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为 $2, D$ 为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A C C_{1}$ 与面 $A_{1} B D$ 所成角的余弦值.

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18. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为 $\frac{a}{2} (n^{2} - n + 2)$ 万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多 $a {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$ 万元．

(1)、求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；

(2)、若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？

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19. 我们在学习解析儿何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = a^{2}$ ，其中 $a, c$ 均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线 $C$ ，它的轨迹方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} + λ (x^{2} - y^{2}) = μ$ .

(1)、求参数 $λ, μ$ 的值（用含 $a, c$ 的式子表示）；

(2)、若 $P (x, y)$ 为曲线上一点，求证： $|y| \leq \frac{a^{2}}{2 c}$ ， $|x| \leq \sqrt{a^{2} + c^{2}}$ ；

(3)、若 $a = c = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，求证：曲线 $C$ 恰经过 $3$ 个整点（横、纵坐标均为整数的点）.

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