四川省成都市邛崃市2024-2025学年九年级下学期4月适应性训练（模拟）数学试题

试卷更新日期：2025-04-28 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1. 实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $|a| > |b|$ B、 $a + b > 0$ C、 $a - b > 0$ D、 $a b < 0$

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2. $D e e p S e e k - R 1$ 是幻方量化旗下 $A I$ 公司深度求索（ $D e e p S e e k$ ）研发的推理型． $D e e p S e e k - R 1$ 拥有卓越的性能，在数学、代码和推理任务上可与 $O p e n A I o l$ 媲美．其采用的大规模强化学习技术，仅需少量标注数据即可显著提升模型性能．此外， $D e e p S e e k - R 1$ 构建了智能训练场，通过动态生成题目和实时验证解题过程等方式，提升模型推理能力.2025年1月20日， $D e e p S e e k - R 1$ 模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日， $D e e p S e e k$ 的下载量已接近 $4000$ 万．将 $4000$ 万用科学记数法表示为（）

A、 $4 \times 10^{6}$ B、 $40 \times 10^{6}$ C、 $4 \times 10^{7}$ D、 $0.4 \times 10^{8}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 ${(- 2 x^{3})}^{2} = 4 x^{5}$ B、 $x^{2} y \cdot y = x^{3} y$ C、 $4 x y - x = 4 y$ D、 ${(3 x + 1)}^{2} = 9 x^{2} + 6 x + 1$

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4. 学校组织各班开展“减少近视，守护光明”主题班会活动，九年级一班班长小颖随即组织本班42名同学进行视力检查，小颖根据视力检查数据制作了如下统计表，则九年级一班同学视力检查数据的众数和中位数分别是（）
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
人数
2
3
4
6
5
8
5
4
3
2

A、4.8，4.8 B、4.8，4.7 C、4.8，4.75 D、4.8，4.6

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5. 如图，将两张相同的矩形纸片互相重叠得到四边形 $A B C D$ ，连接 $A C$ ，测得 $∠ 1 = 38 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $18 °$ B、 $19 °$ C、 $38 °$ D、 $42 °$

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6. 在平面直角坐标系中，点 $P (2, - 3)$ 关于直线 $x = 1$ 的对称点 $P^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1, - 3)$ B、 $(- 2, - 3)$ C、 $(1, - 3)$ D、 $(0, - 3)$

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7. 如图，在 $⊙ O$ 中，弦 $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = 42 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数为（）

A、 $84 °$ B、 $86 °$ C、 $88 °$ D、 $90 °$

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）

A、对称轴为直线 $x = 1$ B、 $y$ 的最小值为 $- 4$ C、 $x = - 2$ 对应的函数值为 $y = 5$ D、当 $0 < x < 2$ 时，则 $- 4 < y < - 2$

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二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

9. 已知 $\sqrt{y + 3} = 2$ ，则y=.

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10. 若关于 $y$ 的一元二次方程 $y^{2} - y + \frac{m}{2} = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围为．

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11. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A C$ 为对角线， $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $C F ∥ B E$ ， $\frac{B C}{D F} = \frac{1}{2}$ ，则 $S_{△ B C E} : S_{△ A C F}$ 的值为．

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12. 《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右.小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同.”设每头牛、每只羊的价格各为x金，y金，根据题意列出方程组为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧分别交于点 $D$ 和点 $E$ ；作直线 $D E$ 分别交线段 $A B$ ， $A C$ 于点 $F$ ， $G$ ．若 $C G = 1$ ， $A G = 3$ ，则 $A F$ 的值为．

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三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）

14. （1）计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sqrt{12} + {(π - 2025)}^{0} + |\sqrt{3} - 3|$ ；
（2）解不等式组： $\{\begin{array}{l} 2 (x - 3) < 3 x - 2 \\ \frac{x + 4}{2} \geq x - 1 \end{array}$

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15. 2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》．《纲要》指出：促进学生健康成长、全面发展．深入实施素质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教育短板．落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．某校为落实文件精神，随即调整完善学生体育训练计划，保证学生每天在校综合体育活动时间不低于2小时．学校通过增加体育课程和各类比赛等不断丰富体育项目，让学生健康快乐成长．为了解同学们对比赛项目的喜爱情况，体育组老师对部分同学进行了项目喜好情况调查（每位同学只能选一种），特制定如下统计表和统计图．
比赛项目
人数
$A$
篮球比赛
60
$B$
足球比赛
50
$C$
排球比赛
$x$
$D$
乒乓球比赛
$y$
$E$
羽毛球比赛
25
$F$
空竹比赛
$z$
根据图表信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的学生共有______人，表中 $x =$ ______， $y =$ ______；

(2)、在扇形统计图中，求“ $A$ ”“ $E$ ”比赛项目对应的圆心角度数；

(3)、若学校共有1600名学生，请你根据调查结果，估计选择“ $F$ ”比赛项目的学生人数．

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16. 寒假中，小张和家人到某景点旅游．小张是摄影爱好者，他操控无人机对景点的建筑物进行拍摄游览．某景点的游览阶梯 $A M$ 与水平地面 $A B$ 的夹角为 $a$ 度，无人机位于点 $C$ 处，测得阶梯同侧建筑物 $D$ ， $E$ 的俯角分别为 $58 °$ 和 $39 °$ （点 $D$ ， $E$ 在直线 $A M$ 上， $∠ F C D = 58 °$ ， $∠ F C E = 39 °$ ），若无人机离建筑物 $D$ ， $E$ 的竖直距离分别为 $110 m$ 和 $64.8 m$ ，求点 $D$ 与点 $E$ 的水平距离．（参考数据： $\sin 58 ° \approx 0.85$ ， $\cos 58 ° \approx 0.53$ ， $\tan 58 ° \approx 1.6$ ， $\sin 39 ° \approx 0.63$ ， $\cos 39 ° \approx 0.78$ ， $\tan 39 ° \approx 0.81$ ）

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以边 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 交于点 $D$ ，点 $E$ 为弧 $B D$ 的中点，直线 $A E$ ， $B E$ 分别交 $B C$ ， $A C$ 于点 $F$ ， $G$ ．

(1)、求证： $△ B E F ∽ △ A E G$ ；

(2)、若 $A D = 4$ ， $\frac{B F}{F C} = \frac{4}{5}$ ，求 $D G$ 的长．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ ： $y = 2 x + m$ 与反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象分别交于点 $A (- 1, a)$ 和点 $B$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 的表达式；

(2)、如图2，直线 $l_{2}$ 经过点 $B$ 与反比例函数 $y = \frac{3}{x} (x < 0)$ 的图象交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $D$ ，点 $D$ 将线段 $B C$ 分成 $C D$ ， $B D$ 两条线段，且 $\frac{C D}{B D} = \frac{1}{2}$ ，连接 $A D$ ，求 $△ A B D$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点 $E$ ，使 $△ B C E$ 是以 $B C$ 为斜边的直角三角形，若存在，请求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

19. 已知 $a$ ， $b$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 5 x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 ${(a - 2)}^{2} - a (1 - b)$ 的值为．

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20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = a x + 2$ 与直线 $y = b x - 2$ 的图象交于点 $C$ ，点 $C$ 的横坐标为 $- 2$ ，则 $a - b =$ ．

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21. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，点 $E$ 为边 $B C$ 上的中点，点 $F$ 为对角线 $B D$ 上一点，且 $\frac{D F}{B F} = \frac{3}{5}$ ，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $\sin ∠ A C B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，点 $D$ 为斜边 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，将 $△ B D C$ 沿 $B D$ 翻折得到 $△ B D E$ ， $B E$ 与 $A C$ 交于点 $F$ ，当 $D E ⊥ A C$ 时，则 $\frac{E D}{B D} =$

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23. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - \frac{2}{5} \sqrt{3} x^{2} + \frac{2}{5} \sqrt{3} x + \frac{12}{5} \sqrt{3}$ 的图象与 $x$ 轴分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，过顶点 $C$ 的直线 $l ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，点 $M$ 为线段 $B C$ 上一点，点 $N$ 在线段 $C D$ 上，且 $C N = 2 B M$ ，当 $\frac{1}{2} B N + D M$ 取最小值时，则 $D N =$ ．

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五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）

24. 春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评，某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品.经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件.设该纪念品的售价为每件x元（x为整数且20<x≤50），每天的销售量为y件．

(1)、求出y与x的函数关系式；

(2)、该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - \frac{1}{2} x - 2$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，抛物线 $w$ ： $y = a x^{2} + b x + c$ 经过 $A$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ，且 $\tan ∠ O B C = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、如图2，点 $D$ 为抛物线上一点，且位于第三象限， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，若 $\frac{D E}{C B} = \frac{1}{2}$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、抛物线 $w_{1}$ 与抛物线 $w$ ： $y = a x^{2} + b x + c$ 关于原点对称，抛物线 $w_{1}$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $F$ ，作 $G F ⊥ A F$ 交直线 $A B$ 于点 $G$ ，在抛物线 $w_{1}$ 上是否存在点 $H$ ，使得∠ $A G H = 2 ∠ B A O$ ，若存在，求出点 $H$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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26. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 8$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $D$ 为直线 $A C$ 上一点，连接 $B D$ ，将 $B D$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $30 °$ 至线段 $B D^{'}$ ，直线 $B D^{'}$ 与直线 $A C$ 交于点 $E$ ．

(1)、如图1，当 $B A$ 平分 $∠ E B D$ 时，连接 $A D^{'}$ ，求证： $△ A E D^{'} ∽ △ C B D$ ；

(2)、如图2，当点 $D$ 与点 $A$ 重合时，连接 $A D^{'}$ ，求 $A D^{'}$ 的值；

(3)、过点 $D$ 作 $D F ⊥ B D^{'}$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ ，当 $C F$ 最小时，求 $△ C F D$ 的面积．

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比赛项目		人数
$A$	篮球比赛	60
$B$	足球比赛	50
$C$	排球比赛	$x$
$D$	乒乓球比赛	$y$
$E$	羽毛球比赛	25
$F$	空竹比赛	$z$

视力	4.3	4.4	4.5	4.6	4.7	4.8	4.9	5.0	5.1	5.2
人数	2	3	4	6	5	8	5	4	3	2