湘教版（2025)数学七年级下册第四章平面内的两条直线单元测试（培优卷）

试卷更新日期：2025-05-18 类型：单元试卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分

1. 下列说法一定正确的是（）

A、两条不相交的线段叫作平行线 B、在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C、两条相交的直线有且只有1个公共点 D、在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行

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2. 下列说法：①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的是（）

A、①④⑤ B、②③④ C、②⑤ D、①④

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3. 据说中国最早的风筝是由古代哲学家墨翟制作的．如图风筝的骨架构成了多种位置关系的角．下列角中与∠1构成同位角的是（）

A、∠2 B、∠3 C、∠4 D、∠5

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4. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为 $2 m$ ，则绿化的面积为（） $m^{2}$

A、 $564$ B、 $550$ C、 $544$ D、 $540$

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5. 如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台上铺上一块红地毯，问这块红地毯长至少需要（）

A、23米 B、18米 C、15米 D、13米

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6. 在同一平面内， $a, b, c$ 是直线，下列关于它们位置关系的说法中，正确的是（）

A、若 $a ⊥ b, b ⊥ c$ ，则 $a ⊥ c$ B、若 $a ⊥ b, b ∥ c$ ，则 $a ∥ c$ C、若 $a ∥ b, b ∥ c$ ，则 $a ⊥ c$ D、若 $a ∥ b, b ∥ c$ ，则 $a ∥ c$

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7. 如图，下列条件中，可以判定 $A F ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 6 = ∠ 5$ C、 $∠ 1 = ∠ 5$ D、 $∠ 1 = ∠ 3$

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8. 已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 互相平行，直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离是 $2 cm$ ，直线 $l_{2}$ 与 $l_{3}$ 的距离是 $5 cm$ ，那么直线 $l_{1}$ 与 $l_{3}$ 的距离是（）

A、 $3 cm$ 或 $7 cm$ B、 $3 cm$ C、 $5 cm$ D、 $7 cm$

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9. 如图， $A B ∥ C D$ ， F为 $A B$ 上一点， $F D ∥ E H$ ，过点F作 $F G ⊥ E H$ 于点G，且 $F E$ 平分 $∠ A F G$ ， $∠ A F G = 2 ∠ D$ ．有下列结论：① $∠ D = 30 °$ ；② $2 ∠ D + ∠ E H C = 90 °$ ；③ $F D$ 平分 $∠ H F B$ ；④ $F H$ 平分 $∠ G F D$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 如图1，是一盏LED台灯，其示意图如图2所示，此台灯由底座AB，BC，灯杆CD和灯头DE组成.已知BC⊥AB，灯头DE始终平行桌面.已知∠CDE=120°，连结CE，BE.若∠DEC= $\frac{3}{4}$ ∠EBA，∠DCE=2∠CEB，则∠BCE的度数是（）

A、120° B、126° C、130° D、135°

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分

11. 张老师出了一道判断题“若 $P C ∥ A B ， Q C ∥ A B$ ，则点 $P ， C ， Q$ 在一条直线上”，点点认为对．你认为点点的理由是：.

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12. 如图，与∠1构成同位角的角有个。

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13. 如图，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 方向平移 $4 cm$ 得到 $△ D E F$ ，若四边形 $A B F D$ 的周长为 $42 cm$ ，则 $△ A B C$ 的周长为cm．

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14. 如图，直线 $a ∥ b$ ，将一把含 $60 °$ 角的直角三角尺按图中方式放置，其中 $A$ ， $C$ 两点分别落在直线 $a$ ， $b$ 上．若 $∠ 1 = 15 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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15. 如图， $C D ∥ A B$ ， $B C$ 平分 $∠ A C D$ ， $C F$ 平分 $∠ A C G$ ，点 $G$ 、 $C$ 、 $D$ 在一条直线上，点 $B$ 、 $E$ 、 $A$ 、 $F$ 在一条直线上， $∠ B A C = 40 °$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ，则下列结论：① $C B ⊥ C F$ ；② $∠ 1 = 70 °$ ；③ $∠ 3 = 2 ∠ 4$ ；④ $∠ A C E = 2 ∠ 4$ ，其中正确的是．

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16. 如图，直线 $a / / b$ ，点A、B位于直线 $a$ 上，点C、D位于直线 $b$ 上，且 $A B : C D = 1$ ：2，若 $△ A B C$ 的面积为6，则 $△ B C D$ 的面积为.

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17. 如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示， $A B ∥ C D$ ， $∠ 1 = 30 °$ ，若要保证光线经过镜子反射两次后能与起始光线平行射出，那么 $∠ 2 =$ ．

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18. 如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱 $B A$ 垂直于地面 $A E$ 于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏 $C D ∥ A E$ ，此时 $∠ A B C + ∠ B C D =$ °．

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三、解答题：本题共8小题，共66分

19. 如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形ABC，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图：
⑴过点C作直线CD平行于AB；
⑵平移三角形ABC，并将三角形ABC的顶点A平移到点E处，其中点F和点B对应，点G与点C对应，请画出平移后的三角形EFG；
⑶连结AE，BF．则AE与BF的位置关系与数量关系是．

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20. 已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，PQ平分∠MPN，∠AMP＝∠PQN＝α．
（1）如图1，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图2，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F，连接EN，若NE平分∠PNQ．
①∠EFP＝．
②请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并悦明理由．

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21. 问题情境：
我们知道，“如果两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．

问题初探：

如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH//GF，则CH//DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数为…．

(1)、请你直接写出：∠CAF＝°，∠EMC＝°．

(2)、类比再探：若将将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．

(3)、方法迁移：请你猜想（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．

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22. 已知 $A D ∥ B C ， A B ∥ C D$ ， $E$ 为射线 $B C$ 上一点， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ．

(1)、如图 $1$ ，当点 $E$ 在线段 $B C$ 上时，求证： $∠ B A E = ∠ B E A$ ；

(2)、如图 $2$ ，当点 $E$ 在线段 $B C$ 延长线上时，连接 $D E$ ，若 $∠ A D E = 3 ∠ C D E$ ， $∠ A E D = 50 °$ ．
$①$ 求证： $∠ A B C = ∠ A D C$ ；
$②$ 求 $∠ C E D$ 的度数．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中，E在边BC上，过点E作 $E G ∥ A B$ ，交AC于点F ，若D为BC边上的动点，连接DF、DA ，设 $∠ E F D = α$ ， $∠ D A B = β$ ．

(1)、如图①，当D在线段BE上时．
①若 $∠ G F D = 170 °$ ， $∠ D A H = 150 °$ ，则 $∠ F D A =$ ▲ ；
②试证明 $∠ F D A = α + β$ ．

(2)、如图②，当点D在线段EC上运动时， $∠ F D A$ 与 $α$ 、 $β$ 有何数量关系？请判断并说明理由．

(3)、如图③，当点D在BC延长线上运动时， $∠ F D A$ 与 $α$ 、 $β$ 有何数量关系？请判断并说明理由．

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24.
如图，已知直线l₁∥l₂ ， l₃、l₄和l₁、l₂分别交于点A、B、C、D，点P在直线l₃或l₄上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

(1)、若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2

(2)、若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系

(3)、若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明

(4)、若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系

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25. （1）【阅读探究】如图 $1$ ，已知 $A B ∥ C D$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $C D$ 上的点，点 $M$ 在 $A B$ 、 $C D$ 两平行线之间， $∠ A E M = 45 °$ ， $∠ C F M = 25 °$ ，求 $∠ E M F$ 的度数．
解：过点 $M$ 作 $M N ∥ A B$ ，
∵ $A B ∥ C D$ ，
∴ $M N ∥ C D$ ，
∴ $∠ E M N = ∠ A E M = 45 °$ ， $∠ F M N = ∠ C F M = 25 °$ ，
∴ $∠ E M F = ∠ E M N + ∠ F M N = 45 ° + 25 ° = 70 °$ ．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 $∠ A E M$ 和 $∠ C F M$ “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中 $∠ A E M$ 、 $∠ E M F$ 和 $∠ C F M$ 之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：．
（2）【方法运用】如图 $2$ ，已知 $A B ∥ C D$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在直线 $A B$ 、 $C D$ 上，点 $M$ 在 $A B$ 、 $C D$ 两平行线之间，求 $∠ A E M$ 、 $∠ E M F$ 和 $∠ C F M$ 之间的数量关系．
（3）【应用拓展】如图 $3$ ，在图 $2$ 的条件下，作 $∠ A E M$ 和 $∠ C F M$ 的平分线 $E P$ 、 $F P$ ，交于点 $P$ （交点 $P$ 在两平行线 $A B$ 、 $C D$ 之间）若 $∠ E M F = 60 °$ ，求 $∠ E P F$ 的度数．

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26. 综合与实践
如图1，在某河堤两岸 $P Q, M N$ 分别安装了两盏可旋转探照灯 $A, B$ ，假设两岸河堤是平行的，即 $P Q ∥ M N$ ．探照灯射出的光线可看作射线． $A$ 灯射出的光线 $A E$ 从射线 $A Q$ 开始，绕点 $A$ 顺时针旋转至 $A P$ 便立即回转， $B$ 灯射出的光线 $B F$ 从射线 $B M$ 开始，绕点 $B$ 顺时针旋转至 $B N$ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．
【问题初探】（1）如图2，连接 $A B$ ，若 $A$ 灯射出的光线 $A E$ 平分 $∠ B A Q$ ，且 $∠ Q A E = 55 °$ ，求 $∠ A B N$ 的度数；
【问题深入】（2）如图3，若两灯射出的光线交于点 $G$ ．当 $∠ P A E = 20 °$ ， $∠ M B F = 70 °$ 时，求 $∠ A G B$ 的度数；
【应用拓展】（3）已知 $A$ 灯光线转动速度是每秒 $1 °$ ， $B$ 灯光线转动速度是每秒 $3 °$ ．若 $A$ 灯光线先转动30秒， $B$ 灯光线才开始转动，在 $A$ 灯光线第一次转到 $A P$ 之前，请直接写出， $B$ 灯光线转动多少秒时，两灯射出的光线 $A E, B F$ 互相平行．

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湘教版（2025)数学七年级下册第四章 平面内的两条直线 单元测试（培优卷）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分

三、解答题：本题共8小题，共66分

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