湘教版（2025)数学七年级下册4.5垂线同步分层练习

试卷更新日期：2025-05-18 类型：同步测试

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一、基础夯实

1. 下列图形中，线段 $A D$ 的长表示点A到直线 $B C$ 距离的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 过点 $P$ 作 $A B$ 的垂线 $C D$ ，下列选项中，三角板的放法正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，小华同学的家在点 $P$ 处，他想尽快到达公路边乘车到学校，他选择沿线段 $P C$ 去公路边，他的这一选择用到的数学知识是（）

A、垂线段最短 B、两点之间线段最短 C、两点确定一条直线 D、经过一点有无数条直线

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4. 小明同学踩着踏板起跳的跳远训练情况如图所示，点A，B表示两脚的后脚跟，C，D分别在长方形踏板的边缘线上。若AC与BD均垂直于踏板的边缘线，则要想知道他此次跳远成绩，只需测量（）

A、线段AC的长度 B、线段AD的长度 C、线段BC的长度 D、线段BD的长度

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5. 下列图形中，线段 $P Q$ 的长表示点 $P$ 到直线 $M N$ 的距离是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，三角形ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D，若 $A B = 5 ， A C = 3 ， B C = 4 ， C D = \frac{12}{5}$ ，则点C到直线AB的距离是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、3 C、4 D、5

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7. 如图，直线 $A B ， C D$ 相交于点O， $O E ⊥ A B$ 于O， $∠ D O B = 43 °$ ， $∠ C O E$ 的度数是（　　）

A、 $43 °$ B、 $137 °$ C、 $57 °$ D、 $47 °$

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8. 如图，直线 $A B 、 C D$ 相交于点 $O ， O E ⊥ A B ， ∠ 2$ 比 $∠ 1$ 大 $60 °$ ，则 $∠ A O C =$ °．

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中，过点C作 $C D ⊥ A B$ 于点D，M是边 $A B$ 上的一个动点，连接 $C M$ ．若 $C D = 6$ ，则线段 $C M$ 的长的最小值是．

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10. 如图， $A B ⊥ C D$ ，垂足为 $O$ ， $E F$ 为过点 $O$ 的一条直线，若 $∠ 1 = 50 °$ ，则 $∠ 2 =$ ．

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11. 如图，已知 $C D ⊥ A B$ ， $E F ⊥ A B$ ，垂足分别为 $D$ ， F， $∠ B + ∠ B D G = 180 °$ ，试说明 $∠ B E F = ∠ C D G$ ．
将下面的解答过程补充完整．
证明： $∵ C D ⊥ A B$ ， $E F ⊥ A B$ （已知）
$∴ ∠ B F E = ∠ B D C = 90 °$ $($ 　　 $)$
$∴ E F ∥ C D$ $($ 　　 $)$
$∴ ∠ B E F = ($ 　　 $)$
又 $∵ ∠ B + ∠ B D G = 180 °$ $($ 　　 $)$
$∴ B C ∥$ 　　
$∴ ∠ C D G =$ 　　
$∴ ∠ C D G = ∠ B E F$ $($ 　　 $)$ ．

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12. 如图，为了解决A，B，C，D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂.

(1)、不考虑其他因素，请你画图确定水厂 H 的位置，使之与四个小区的距离之和最小.

(2)、另外，计划把河流EF 中的水引入水厂H 中，使之到水厂H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由.

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二、能力提升

13. 如图， $A F ∥ C D, C B$ 平分 $∠ A C D, B D$ 平分 $∠ E B F$ ，且 $B C ⊥ B D$ ．有下列结论：① $B C$ 平分 $∠ A B E$ ；② $A C ∥ B E$ ；③ $∠ C B E + ∠ E D B = 90 °$ ；④ $∠ B C E + ∠ D B E = 90 °$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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14. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $O$ ， $O E$ 平分 $∠ B O C$ ，设 $∠ A O D = α$ ， $∠ B O F = β$ ，下列结论：① $\frac{1}{2} α + β = 90 °$ ，则 $O F ⊥ O E$ ；②若 $O F ⊥ O E$ ，则 $∠ D O F = β$ ；③若 $α = 50 °$ ，则 $β = 65 °$ ；④若 $O F$ 平分 $∠ B O D$ ．则 $\frac{1}{2} α + β = 90 °$ ，其中正确的结论是（）

A、①②③④ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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15. 一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力 $G$ 的方向竖直向下，支持力 $F_{1}$ 的方向与斜面垂直，摩擦力 $F_{2}$ 的方向与斜面平行，若摩擦力 $F_{2}$ 与重力 $G$ 方向的夹角 $β$ 的度数为 $11 3^{°}$ ，则角 $α$ 的度数为.

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16. 如图，在 $8 \times 8$ 的正方形网格中有 $△ A B C$ ，点 $A ， B ， C$ 均在格点上．

(1)、画出点B到直线 $A C$ 的最短路径 $B D$ ；

(2)、过C点画出 $A B$ 的平行线，交 $B D$ 于点E；

(3)、将 $△ A B C$ 向左平移 $4$ 格，再向下平移 $3$ 格后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(4)、判断 $∠ B A C$ 和 $∠ C E D$ 的数量关系．

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17. 现有一块含 $30 °$ 角的直角三角尺 $A O B$ ， $∠ A O B$ 是直角，其顶点 $O$ 在直线 $l$ 上，请解决下列问题：

(1)、如图1，请直接写出 $∠ 1$ 、 $∠ 2$ 的数量关系；

(2)、如图2，分别过点 $A$ 、 $B$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $C$ 、 $D$ ，请写出图中分别与 $∠ 1$ 、 $∠ 2$ 相等的角，并说明理由；

(3)、如图3， $A C$ 平分 $∠ O A B$ ，将直角三角尺 $A O B$ 绕着点 $O$ 旋转，当 $A C ∥ l$ 时，请直接写出 $O B$ 与直线 $l$ 所成锐角的度数．

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三、拓展创新

18. 图1是光伏发电场景，其示意图如图2， $O P$ 为吸热塔，在地平线上的点C，D处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，B）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点O处．A、B处于同一水平高度，已知反射光线 $O A$ 与水平线 $M N$ 的夹角是 $25 °$ ，镜面 $A E$ 与立杆的夹角 $∠ E A C = 45 °$ ，则太阳光线 $A G$ 与水平面夹角 $∠ G A N =$ $°$ ；若反射光线 $O B$ 与水平线 $M N$ 的夹角是 $41 °$ 时，则 $∠ F B D =$ $°$ ．

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19. 在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
如图1，一束光线 $m$ 射到平面镜 $a$ 上，被 $a$ 反射后的光线为 $n$ ，则入射光线 $m$ 、反射光线 $n$ 与平面镜 $a$ 所夹的锐角 $∠ 1 = ∠ 2$ ．

(1)、【简单应用】
如图2，有一口井，已知入射光线 $a$ 与水平线 $O C$ 的夹角为 $40 °$ ，现放置平面镜 $M N$ ，可使反射光线 $b$ 正好垂直照射到井底（即射线 $b ⊥ O C$ ）， $M N$ 与水平线的夹角 $∠ M O C$ 的度数为．

(2)、【类比拓展】
如图3，有两块平面镜 $O M, O N$ ，且 $O M ⊥ O N$ ，入射光线 $A B$ 经过两次反射，得到反射光线 $C D$ ．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即： $∠ 1 = ∠ 2, ∠ 3 = ∠ 4$ ．在这样的条件下，求证： $A B ∥ C D$ ．

(3)、【尝试探究】
两块平面镜 $O M, O N$ ，且 $∠ M O N = α$ ，入射光线 $A B$ 经过两次反射，得到反射光线 $C D$ ．如图4，光线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $E$ ，则 $∠ B E C$ 的度数是多少？（用含 $α$ 的式子表示）（三角形内角和 $180 °$ ）

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湘教版（2025)数学七年级下册4.5垂线 同步分层练习

一、基础夯实

二、能力提升

三、拓展创新

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