浙教版（2024）数学七下第3章整式的乘除单元测试C卷

试卷更新日期：2025-05-08 类型：单元试卷

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 计算 $a^{10} \div a^{2}$ 结果正确的是（）

A、 $a^{20}$ B、 $a^{12}$ C、 $a^{8}$ D、 $a^{5}$

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2. 有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲、图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A、B的面积之和为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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3. 下列各式能用平方差公式计算的是（）

A、 $(- a + 3) (a - 3)$ B、 $(- a + 3) (3 + a)$ C、 $(- a + 3) (3 - a)$ D、 $(a + 3) (- 3 - a)$

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4. 下列式子的运算结果为 $x^{6}$ 的是（）

A、 $x^{3} + x^{3}$ B、 $x^{2} \cdot x^{3}$ C、 $x^{12} \div x^{2}$ D、 ${(x^{2})}^{3}$

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5. 下列运算中，不正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = 2 a^{3}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 $2 a^{3} \div a^{2} = 2 a$ D、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{9}$

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6. 如图，在边长为 $a$ 的正方形中剪去一个边长为2的小正方形 $(a > 2)$ ，把剩下部分拼成一个梯形，利用这两幅图形中阴影部分面积，可以验证的公式是（）

A、 $a^{2} + 2^{2} = (a + 2) (a - 2)$ B、 $a^{2} - 2^{2} = (a + 2) (a - 2)$ C、 ${(a + 2)}^{2} = a^{2} + 4 a + 4$ D、 ${(a - 2)}^{2} = a^{2} - 4 a + 4$

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7. 已知 $(x - 2021)^{2} + (x - 2025)^{2} = 34$ ，则 $(x - 2023)^{2}$ 的值是（）

A、13 B、11 C、9 D、8

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8. 设 $a = \frac{1^{2}}{1} + \frac{2^{2}}{3} + \frac{3^{2}}{5} + \cdot \cdot \cdot + \frac{50^{2}}{99}$ ， $b = \frac{1^{2}}{3} + \frac{2^{2}}{5} + \frac{3^{2}}{7} + \cdot \cdot \cdot + \frac{50^{2}}{101}$ ，则 $a - b$ 的近似值为（）

A、13 B、25 C、50 D、101

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9. 如图，长为 $y (cm)$ ，宽为 $x (cm)$ 的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 $4 cm$ ，下列说法中正确的有（）
①小长方形的较长边为 $y - 12$ ；
②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为 $x - y + 4$ ；
③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；
④当 $x = 20$ 时，阴影A和阴影B的面积和为定值．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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10. 如图，某小区规划在边长为a米的正方形空地上种植草坪，其中为了方便行人，在空地中修建两条宽为b米的人行道，利用图中草坪面积的等量关系可以得到的公式是（）

A、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ B、 $a^{2} - a b = a (a - b)$ C、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ D、 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 计算： $- {(3 a^{3} b)}^{2} =$ ．

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12. 若长方形面积是 $6 a^{2} - 4 a b + 2 a$ ，一边长为 $2 a$ ，则这个长方形的另一边长是．

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13. 已知：x²-8x-3=0，则（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）的值是。

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14. 若 $\frac{1}{a} - | a | = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + | a |$ 的值为.

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15. 某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个25列的长方形队阵.如果原队阵中增加64人，就能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少64人，也能组成一个正方形队阵.则原长方形队阵中有同学.

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16. 对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形 $A$ （边长为2和 $x)$ 和长方形 $B$ ，并拼成图2．由面积相等得： $x (4 - x) = 2^{2} - (2 - x)^{2}$ ，所以，当 $x = 2$ 时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式 $(10 - x) (\frac{1}{2} x + 3)$ 的最大值为．

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三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题10分，第20题10分，第21题6分，第22题10分，第23题6分，第24题12分，共66分）

17. 计算：
$(1) {(- 2 x^{2} y)}^{3};$ $(2) {(a^{2})}^{3} \cdot {(a b)}^{3};$ $(3) {[m^{2} (x + 1)]}^{3};$ $(4) - b {(- b)}^{2} - (- b) b^{2} 。$

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18. 先化简，再求值：（2a +b）²- 2a（2b +a）.其中a =- 1，b = $\sqrt{2}$

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19. 用如图所示的正方形和长方形纸片进行拼图活动．请解决以下问题：

(1)、若要拼成一个长为 $3 x + 2$ ，宽为 $x + 3$ 的长方形，则需要A型纸片______张，B型纸片______张，C型纸片______张．

(2)、现有A型纸片1张，C型纸片4张，B型纸片若干张，恰好拼成一个正方形，求B型纸片的张数．

(3)、现有A，B，C三种型号的纸片共12张，恰好能拼成一个长方形（每种纸片都用上），若它的一边长为 $x + 2$ ，则需要三种纸片各多少张？（求出所有可能的情况）

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20. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记为 $i ² = - 1$ ，这个数i 叫做虚数单位，把形如 $a + b i$ （a ， b为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算： $(2 - i) + (5 + 3 i) = (2 + 5) + (- 1 + 3) i = 7 + 2 i$
$(1 + i) (2 - i) = 1 \times 2 - i + 2 i - i^{2} = 2 + (- 1 + 2) i + 1 = 3 + i$ ；
根据以上信息，完成下列问题：

(1)、填空： $i^{3} =$ ， $i^{4} =$ ；

(2)、计算： $i + i^{2} + i^{3} + \dots \dots + i^{2023}$

(3)、试一试：请利用以前学习的有关知识将 $\frac{1 + i}{1 - i}$ ，化简成 $a + b i$ 的形式

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21. 利用我们学过的完全平方公式： $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ，可以导出下面这个等式：
$a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c = \frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}]$
该等式不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐性、简洁美．

(1)、请尝试把上面等式从左到右进行推导，验证其正确性；

(2)、利用上面等式进行计算：
$2022^{2} + 2023^{2} + 2024^{2} - 2022 \times 2023 - 2023 \times 2024 - 2022 \times 2024$ ．

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22. 阅读下列材料：已知实数m，n满足 $(2 m^{2} + n^{2} + 1) (2 m^{2} + n^{2} - 1) = 80$ ，试求 $2 m^{2} + n^{2}$ 的值.
解：设 $2 m^{2} + n^{2} = t$ ，则原方程变为 $(t + 1) (t - 1) = 80$ ，整理得 $t^{2} - 1 = 80$ ， $t^{2} = 81$ ，
∴ $t = \pm 9$ ， ∵ $2 m^{2} + n^{2} \geq 0$ ， ∴ $2 m^{2} + n^{2} = 9$ .
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.

(1)、已知实数x，y满足 $(2 x^{2} + 2 y^{2} + 3) (2 x^{2} + 2 y^{2} - 3) = 27$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值；

(2)、设a，b满足等式 $(a^{2} + b^{2}) (2 a^{2} + 2 b^{2} - 1) = 3$ ，求 $3 a^{2} + 3 b^{2} - 1$ 的值；

(3)、若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.

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23. 【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知

a + b = 5

，

a b = 3

，求

a^{2} + b^{2}

的值．

【例题讲解】老师讲解了这道题的两种方法：

方法一

方法二

∵ $a + b = 5$ ，

∴ ${(a + b)}^{2} = 25$ ．

∴ $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 25$ ．

∵ $a b = 3$ ，

∴ $a^{2} + b^{2} = 25 - 2 a b = 25 - 6 = 19$ ．

∵ ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ，

$a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$ ．

∵ $a + b = 5$ ， $a b = 3$ ，

∴ $a^{2} + b^{2} = 25 - 6 = 19$ ．

【方法运用】请你参照上面两种解法中的一种来解答问题．

（1）已知 $a - b = 1$ ， $a^{2} + b^{2} = 9$ ，求 $a b$ ；

（2）若 $a + \frac{1}{a} = 2$ ，求 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ ；

（3）若 $(9 - a) (a - 5) = 1$ ，求 ${(9 - a)}^{2} + {(5 - a)}^{2}$ 的值．

【拓展提升】

（4）如图，在六边形 $A B C D E F$ 中，对角线 $B E$ 和 $C F$ 相交于点 $G$ ，当四边形 $A B G F$ 和四边形 $C D E G$ 都为正方形时，若 $B E = 10$ ，正方形 $A B G F$ 和正方形 $C D E G$ 的面积和为 $28$ ，直接写出阴影部分的面积．

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24. 乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为 $a$ 的正方形，B种纸片是边长为 $b$ 的正方形，C种纸片是长为 $b$ 、宽为 $a$ 的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．

(1)、请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：
方法1：，方法2：；

(2)、观察图2，请你写出三个代数式 $(a + b)^{2}$ ， $a^{2} + b^{2}$ ， $a b$ 之间的数量关系：；

(3)、根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知 $a + b = 7$ ， $a^{2} + b^{2} = 33$ ，求 $a b$ 的值；
②已知 $(2024 - a)^{2} + (a - 2022)^{2} = 8$ ，求 $(2024 - a) (a - 2022)$ 的值．

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浙教版（2024）数学七下第3章 整式的乘除 单元测试C卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题6分，第19题10分，第20题10分，第21题6分，第22题10分，第23题6分，第24题12分，共66分）

浙教版（2024）数学七下第3章整式的乘除单元测试C卷