浙江省宁波市三锋教研联盟2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2025-04-25 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 给出的下列选项中，正确的是（）

A、 ${(2^{x})}^{'} = 2^{x}$ B、 ${(\sin \frac{π}{3})}^{'} = \cos \frac{π}{3}$ C、 ${(- \frac{1}{x^{2}})}^{'} = \frac{2}{x^{3}}$ D、 ${(\sin 2 x)}^{'} = \cos 2 x$

查看试题解析
2. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x - \frac{1}{2} \cos 2 x$ 的最小正周期是（）

A、 $π$ B、 $2π$ C、 $3π$ D、 $4π$

查看试题解析
3. 已知角α的终边经过点 $P (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

查看试题解析
4. 某学校4000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布 $X ~ N (90, σ^{2})$ ，且成绩在 $[90, 100]$ 的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数为（）

A、200 B、400 C、2800 D、2000

查看试题解析
5. 已知 $\frac{\cos α}{\cos α - \sin α} = 2$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- 3$ B、3 C、1 D、 $\frac{3}{2}$

查看试题解析
6. 某班一天上午有4节课，下午有3节课，现在安排该班一天中语文、英语、物理、政治、体育各1节，数学2节，要求2节数学课都排在上午或下午且连续，体育课排在下午，则不同的排法种数是（）

A、624 B、528 C、312 D、264

查看试题解析
7. 已知 ${(x \sqrt{x} + \frac{t}{x})}^{6} (t > 0)$ 的展开式中唯有第5项的系数最大，则t的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{3}, \frac{5}{3})$ B、 $(\frac{4}{3}, \frac{5}{3})$ C、 $[\frac{4}{3}, \frac{5}{3}]$ D、 $(\frac{4}{3}, \frac{5}{2})$

查看试题解析
8. 若函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{2}} (a \neq 0)$ 既有极大值也有极小值，则（）

A、 $a b < 0$ B、 $b c < 0$ C、 $b^{2} + 8 a c < 0$ D、 $a c > 0$

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
0
1
2
5
P
a
$2 a + 0.2$
$a + 0.2$
2a
则下列说法正确的是（）

A、 $a = 0.2$ B、 $E (X) = 2$ C、 $D (X) = 2.6$ D、 $E (2 X + 6) = 9$

查看试题解析
10. 甲乙两个盒子中分别装有两种颜色不同但大小相同的小球，甲盒子中装有5个白球和5个黑球；乙盒子中装有4个白球和6个黑球．先从甲盒子中随机摸出一个小球放入乙盒子中，再从乙盒子中随机摸出一个小球，记 $A_{1}$ 表示事件“从甲盒子中摸出的是白球”， $A_{2}$ 表示事件“从甲盒子中摸出的是黑球”，记 $B_{1}$ 表示事件“从乙盒子中摸出的是白球”， $B_{2}$ 表示事件“从乙盒子中摸出的是黑球”，下列说法正确的是（）

A、 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是互斥事件 B、 $A_{1}$ ， $B_{2}$ 是独立事件 C、 $P (B_{2} |A_{2}) = \frac{7}{11}$ D、 $P (B_{2} |A_{1}) + P (B_{1} |A_{2}) = \frac{10}{11}$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = (1 - x) {(4 - x)}^{2} + 2$ ，则（）

A、点 $(3, 0)$ 是 $f (x)$ 图像的对称中心 B、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、当 $0 < x < 1$ 时， $f (4 - x) > f (x)$ D、当 $1 < x < 2$ 时， $- 2 < f (2 x) < 2$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在 ${(1 - 3 x)}^{5}$ 的展开式中，各项系数的和是

查看试题解析
13. $f (x) = 3 f^{'} (0) x + x^{2} + e^{x} - 1$ ，则 $f^{'} (0) =$

查看试题解析
14. 某学校兴趣小组，该兴趣小组内学舞蹈且不学声乐的有3人，既学舞蹈又学声乐的有2人，从该兴趣小组中任选2人，设X为选出的人既学舞蹈又学声乐的人数，若 $P (X > 0) = \frac{11}{21}$ ，则该兴趣小组的人数是人．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos 2 x - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和最大值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 上的单调性．

查看试题解析
16. 已知 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前三项的系数成等差数列．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项；

(3)、求展开式中所有的有理项．

查看试题解析
17. 已知函数 $f (x) = - 4 a \ln x + x^{2} - 1$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线的方程；

(2)、探究 $f (x)$ 的最小值；

(3)、当 $a > 0$ 时，求 $f (x)$ 的最小值的极值．

查看试题解析
18. 某学校组织开展了“学习强国答题挑战赛暨主题党日活动”.规则如下：每班派两名选手参赛，每位选手回答三个题，满分为60分，每题答对得10分，答错不得分.某班派了甲､乙两名同学参赛，且甲同学三题能回答正确的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，乙同学三题能回答正确的概率依次为 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ ，两人的累计得分为班级总得分，总得分不少于50分班级将获得参加决赛的资格.

(1)、三题答完结束后，记 $X$ 为乙同学的累计得分，求 $X$ 的分布列和期望；

(2)、求班级获得决赛资格的概率.

查看试题解析
19. 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[m, n]$ 阶帕德近似定义为： $R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{m} x^{m}}{1 + b_{1} x + \dots + b_{n} x^{n}}$ ，且满足： $f (0) = R (0)$ ， $f^{'} (0) = R^{'} (0)$ ， $f^{″} (0) = R^{″} (0)$ ， …， $f^{(m + n)} (0) = R^{(m + n)} (0)$ ，注： $f^{″} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}$ ， $f^{'''} (x) = {[f^{″} (x)]}^{'}$ ， $f^{(4)} (x) = {[f^{'''} (x)]}^{'}$ ， $f^{(5)} (x) = {[f^{(4)} (x)]}^{'}$ ， …已知函数 $f (x) = \ln (x + 1)$ 在 $x = 0$ 处 $[1, 1]$ 阶帕德近似为 $g (x) = \frac{a + b x}{1 + c x}$ ．

(1)、求实数a，b，c的值；

(2)、证明：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ ；

(3)、设t为实数，讨论方程 $f (x) - \frac{t}{2} g (x) = 0$ 的解的个数．

查看试题解析

X	0	1	2	5
P	a	$2 a + 0.2$	$a + 0.2$	2a