浙江省嘉兴八校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

试卷更新日期：2025-04-30 类型：期中考试

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z$ 满足 $z = 2 - 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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2. 已知 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 2$ ，且向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $- 2$

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3. 如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $△ O A B$ 的直观图， $O^{'} A^{'} = 2, O^{'} B^{'} = 2 \sqrt{2}, ∠ A^{'} O^{'} B^{'} = 45 °$ ，则原 $△ A O B$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、6 D、8

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4. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b^{2} + c^{2} + b c = a^{2}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为线段 $C D$ 的中点，记 $\vec{A B} = \vec{m}$ ， $\vec{A D} = \vec{n}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{m} - \vec{n}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{m} + \vec{n}$ C、 $\vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$ D、 $\vec{m} + \frac{1}{2} \vec{n}$

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6. $△ A B C$ 中， $a = 2 \sqrt{3}, B = \frac{π}{6}, b = 2$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{π}{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3, A C = 4, A = 60 °$ ， $D$ 为边 $B C$ 的中点，则 $A D$ 为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{59}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{37}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{47}}{2}$

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8. 已知 $△ A B C$ ， $A B = A C = 4, B C = 2$ ， $P$ 是平面 $A B C$ 内一点，则 $\vec{P B} \cdot (\vec{P A} + \vec{P C})$ 最小值是（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{9}{8}$ D、0

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．

9. 下列命题错误的是（）

A、两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B、四边形可以确定一个平面 C、经过同一直线上的3个点的平面有且仅有3个 D、经过两条平行直线，有且只有一个平面

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10. 已知复数 $z$ ：满足 $(1 + i) z = 2 i$ ，则（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 的实部为1 C、 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z} = - 1 + i$ D、 $\bar{z}$ 在复平面中对应的点位于第四象限

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $B = \frac{π}{3}, b = 4 \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A = \frac{π}{4}$ ，则 $a = 4 \sqrt{2}$ B、若 $a = 4$ ，则 $c = 9$ C、 $△ A B C$ 周长的最大值为 $12 \sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 面积的最大值 $12 \sqrt{3}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $\vec{a} = (t, 1), \vec{b} = (2, 3)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数 $t$ 的值为．

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13. 已知长方体的长宽高分别为 $4$ ， $2$ ， $4$ ，现将该长方体沿相邻三个面的对角线截掉一个棱锥，得到如图所示的几何体，则该几何体体积为．

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14. 文壁巽塔位于桐乡市崇福镇中山公园，始建于明嘉靖年间，历经劫难不屈不折，现为桐乡市级重点保护文物．在湖对岸为测量塔的高度 $A B$ ，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 45 °, ∠ B D C = 60 °$ ， $C D = 40$ 米，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，则塔高 $A B =$ 米．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．

15. 已知 $z = 1 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，其中 $p, q$ 为实数．

(1)、求 $p, q$ 的值；

(2)、设复数 $z_{1} = m - 3 i$ 满足 $z_{1} \cdot z$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值．

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16. $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin (B - C) + \sin (B + C) = \sin B$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ．求 $△ A B C$ 的周长．

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17. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 $2 \sqrt{3}$ .
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.

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18. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{5}$ ，

(1)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $120 °$ ，求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(3)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $60 °$ ，求 $|\vec{a} + t \vec{b}|$ 取最小值时 $t$ 的值．

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19. 如图所示， $A D$ 是 $△ A B C$ 的一条中线，点 $O$ 满足 $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，过点 $O$ 的直线分别与射线 $A B$ ，射线 $A C$ 交于 $M, N$ 两点．

(1)、用 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A O}$ ；

(2)、设 $\vec{A M} = m \vec{A B}, \vec{A N} = n \vec{A C}$ ，实数 $m > 0, n > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

(3)、如果 $△ A B C$ 是边长为 $a (a > 0)$ 的等边三角形，求 $O M^{2} + O N^{2}$ 的取值范围．

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