浙江省绍兴市2025届高三下学期4月高考科目适应性考试数学试题

试卷更新日期：2025-04-11 类型：高考模拟

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < 3}, B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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2. $\frac{1}{1 + i} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$

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3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{7}$ D、7

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4. 直线 $x = 2$ 被圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 截得的弦长为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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5. 将函数 $y = sin 2 x$ 的图象向左平移 $φ$ 个单位后得到函数 $y = cos 2 x$ 的图象，则 $φ$ 可以是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + λ e^{2 x}}$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $f (x)$ 是偶函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递增 B、当 $λ = 1$ 时， $f (x)$ 是奇函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递减 C、当 $λ = - 1$ 时， $f (x)$ 是偶函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递减 D、当 $λ = - 1$ 时， $f (x)$ 是奇函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递增

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7. 已知双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，点 $A, B$ 在 $Γ$ 的右支上，且 $|A B| = 6$ ，则 $|F A| + |F B|$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、10 D、14

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8. 已知 $△ A B C$ 的两个内角 $A, B (A \neq B)$ 都是关于 $x$ 的方程 $cos 2 x + 2 m cos x + 2 m^{2} - \frac{1}{2} = 0$ 的解，其中 $- 1 < m < - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若去掉一个最高分和一个最低分，则（）

A、这组分值的极差变小 B、这组分值的均值变大 C、这组分值的方差变小 D、这组分值的第75百分位数不变

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10. 已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} \cdot sin x \cdot ln (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(2, 3)$ 内存在零点 B、0是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内存在极大值 D、 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 0)$ 上单调递减

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11. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = e^{a_{n} - 2} + 1$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 B、 $\exists n \in N^{*}, a_{n} > 2$ C、 $\forall n \in N^{*}, a_{n + 1} < \frac{1}{2} a_{n}^{2} - a_{n} + 2$ D、 $\forall n \in N^{*}, a_{n} \leq \frac{2 n - 1}{n}$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b sin B + c sin C - a sin A = \sqrt{2} b sin C$ ，则 $A =$ .

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13. 已知偶函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y$ ，则 $f (x)$ 的值域为.

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14. 设点 $P (x, y)$ 在“笑口”型曲线 $\sqrt{x^{2} + y^{2}} + |y - \frac{5}{2}| = \frac{7}{2}$ 上，则 $x^{2} + 2 y^{2} - 5 y$ 的最小值为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2 x} + ln x - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、记 $f (x)$ 的两个零点分别为 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线方程.

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16. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \{\begin{cases} a_{n} + 2, n 为奇数, \\ 2 a_{n}, n 为偶数 . \end{cases}$

(1)、记 $b_{n} = a_{2 n} + 2$ ，求 $b_{1}, b_{2}$ ，并证明数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、记 $c_{n} = a_{2 n} + 3$ ，求满足 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n} < 100$ 的所有正整数 $n$ 的值.

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17. 已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、设 $A, B$ 为 $Γ$ 的左、右顶点，在过点 $A$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上任取一点 $P$ ，过 $P$ 作 $Γ$ 的切线，切点为 $C$ （异于 $A$ ），作 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ .记 $△ P B C$ 和 $△ P B D$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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18. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $∠ A C D = ∠ B D C = \frac{π}{2}, A C = B D = 1, C D = x$ ，记二面角 $A - C D - B$ 为 $θ, M, N$ 分别为 $A D, B C$ 的中点.

(1)、求证： $M N ⊥ C D$ ；

(2)、若 $x = \frac{\sqrt{3}}{2}, θ = \frac{π}{3}$ ，求直线 $M N$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值；

(3)、设在四面体 $A B C D$ 内有一个半径为 $r$ 的球，若 $x = θ$ ，求证： $r < \frac{1}{4}$ .

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19. 某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中 $A$ 校和 $B$ 校各4名， $C$ 校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号.

(1)、若来自 $A$ 校的4名毕业生的面试序号分别为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ，且 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4}$ ，来自 $B$ 校的4名毕业生的面试序号分别为 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ ，且 $b_{1} < b_{2} < b_{3} < b_{4}$ ，来自 $C$ 校的2名毕业生的面试序号分别为 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ，且 $c_{1} < c_{2}$ .
（i）求概率 $P (b_{4} = 10), P (a_{4} < c_{2})$ ；
（ii）记随机变量 $X = a_{4}$ ，求 $X$ 的均值 $E (X)$ .

(2)、经面试，第 $i$ 位面试者的面试得分为 $N_{i}$ ，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则： $S = \{j ∣ j \geq 4$ ，且 $N_{j} > N_{i}, 1 \leq i \leq j - 1\} \cup \{10\}$ ，集合 $S$ 中的最小元素为 $k$ ，最终录用第 $k$ 位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59.

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