浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

试卷更新日期：2025-03-27 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = \{x |x \geq 1\}, B = \{x |0 < x \leq 3\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{x |0 < x < 1\}$ B、 $\{x |x > 0\}$ C、 $\{x |x < 1\}$ D、 $\{x |1 \leq x < 3\}$

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2. 已知复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{i}{2}$ D、 $- \frac{i}{2}$

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3. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C所对的边，若 $B = 30 °, b = \sqrt{2}, c = 2$ ，则C=（）

A、 $45 °$ B、 $135 °$ C、 $45 °$ 或 $135 °$ D、 $120 °$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (x, 2), \vec{b} = (2, y), \vec{c} = (1, - 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $x + y =$ （）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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5. 在 $△ A B C$ 中，已知 $\cos C = \frac{\sqrt{5}}{5}, \vec{C A} \cdot \vec{C B} = \sqrt{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 1), \vec{b} = (- 1, 3)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $λ > \frac{1}{2}$ B、 $λ > \frac{1}{2}$ 且 $λ \neq 1$ C、 $λ < \frac{1}{2}$ D、 $λ < \frac{1}{2}$ 且 $λ \neq 0$

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7. 为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为 $30 °$ ，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为 $60 °$ ，若 $∠ A O B = 60 °$ ，则铁塔OT的高度为（）米

A、 $10 \sqrt{7}$ B、 $10 \sqrt{21}$ C、 $30 \sqrt{7}$ D、 $30 \sqrt{21}$

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8. 已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，且向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，若对任意的 $μ \in R, | \vec{a} + λ \vec{b} | \leq | \vec{a} + μ \vec{b} |$ 恒成立，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、－1

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错得得0分．

9. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x - \frac{1}{x}$ B、 $y = 2 x^{2} + 1$ C、 $y = \sqrt{| x |}$ D、 $y = x^{- 2}$

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10. 已知复数 $z_{1}, z_{2}, \bar{z_{1}}$ 为 $z_{1}$ 的共轭复数，则下列结论一定正确的是（）

A、 $|z_{1}| = |\bar{z_{1}}|$ B、 $z_{1} + \bar{z_{1}}$ 一定是实数 C、若 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1} - z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ D、 $|\bar{z_{1}} z_{2}| = |z_{1} z_{2}|$

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11. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, \vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - 3, (\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则下列说法正确的为（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $| \vec{a} - t \vec{b} | (t \in R)$ 最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $| \vec{c} |$ 最大值为 $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$ D、 $\sin 〈 \vec{a} + \vec{b}, \vec{c} 〉 \in [0, \frac{\sqrt{21}}{7}]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $△ A B C$ 的周长为 $3 + \sqrt{3}$ ，且 $\sin A + \sin B = \sqrt{3} \sin C$ ，则 $| A B | =$ ．

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13. 已知 $1 - i$ 是方程 $x^{2} + b x + c = 0 (b, c \in R)$ 的一个根，则 $b + c =$ ．

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14. 已知正实数x，y满足 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$ ，则 $\frac{x}{x - 1} + \frac{4 y}{y + 1}$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 已知复数 $z = m + (m + m^{2}) i$ ，其中 $m \in R, i$ 是虚数单位，

(1)、若z为纯虚数，求实数m的值；

(2)、若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．

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16. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C所对的边，若 $b = a \cos C + 2 c \sin A$ ．

(1)、求 $\tan A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{6} c^{2}$ ，求 $\frac{a}{c}$ 的值．

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17. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \sin (ω x - \frac{π}{6}) + \cos ω x + a, ω \in N^{*}, a \in R, f (x)$ 的最大值为1．

(1)、求实数a的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，求 $ω$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, m]$ 上恰有2个零点，求实数m的取值范围．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 1, \vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{1}{2}, \vec{A D} = \vec{D C}, \vec{B E} = 3 \vec{E C}$ ，线段 $A E$ 与线段 $B D$ 交于点F．

(1)、求 $\vec{A E} \cdot \vec{B D}$ 的值；

(2)、求 $\cos ∠ A F B$ 的值：

(3)、若O为 $△ A B C$ 内一动点，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + 3 \vec{O A} \cdot \vec{O C}$ 的最小值．

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19. 若三角形 $A B C$ 内一点P满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = θ$ ，则称P为三角形 $A B C$ 的布洛卡点， $θ$ 为三角形 $A B C$ 的布洛卡角．已知a，b，c分别为三角形 $A B C$ 三个内角A，B，C所对的边，点P为三角形 $A B C$ 的布洛卡点， $θ$ 为三角形 $A B C$ 的布洛卡角．

(1)、若 $c = 2 b$ ，且 $P B = P C = 2 P A$ ，求三角形 $A B C$ 的布洛卡角的余弦值；

(2)、若三角形 $A B C$ 的面积为S．
①证明： $a^{2} + b^{2} + c^{2} = \frac{4 S}{\tan θ}$ ；
②当 $θ = \frac{π}{6}, a = 2$ 时，求面积S的大小．

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