2025届湖南省长沙市岳麓区长沙麓山外国语实验中学高三一模数学试题

试卷更新日期：2025-04-01 类型：高考模拟

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一、单选题（共40分）

1. 已知复数 $z = 1 + i$ ，则 $| \frac{z}{\bar{z}} | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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2. 如果圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$ ，高为2，那么它的侧面积是（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $2 \sqrt{2} π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $4 \sqrt{2} π$

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3. 要得到余弦曲线 $y = c o s x$ ，只需将正弦曲线 $y = s i n x$ 向左平移（）

A、 $\frac{π}{2}$ 个单位 B、 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、 $\frac{π}{4}$ 个单位 D、 $\frac{π}{6}$ 个单位

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4. 如图，在 $Δ O A B$ 中， $P$ 为线段 $A B$ 上的一点， $\overset{⇀}{O P} = x \overset{⇀}{O A} + y \overset{⇀}{O B}$ 且 $\overset{⇀}{B P} = 3 \overset{⇀}{P A}$ ，则

A、 $x = \frac{2}{3} ， y = \frac{1}{3}$ B、 $x = \frac{1}{3} ， y = \frac{2}{3}$ C、 $x = \frac{1}{4} ， y = \frac{3}{4}$ D、 $x = \frac{3}{4} ， y = \frac{1}{4}$

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5. 现用甲、乙、丙、丁四台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这四台3D打印设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸Z（单位：mm）服从正态分布 $N (μ, 2.25)$ ，且 $P (Z < 28) = P (Z > 32)$ ．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸（单位：mm）如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是（）

A、甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3 B、乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3 C、丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4 D、丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.3

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6. 已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 和直线 $l : y = k x - \sqrt{3}$ ，则“ $k > \frac{\sqrt{3}}{3}$ ”是“直线 $l$ 与圆 $C$ 有公共点”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知f（.x）为定义在R上的奇函数。当x>0时， $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 6 x - 5, (0 < x \leq 5) \\ {(\frac{1}{2})}^{x - 5} - 1, (x > 5) \end{matrix}$ ，设方程f（x）-m=0有四个互不相等的实根，则实数m的取值范围是（）

A、[-1，0） $\cup$ （0，1] B、（-1，1） C、（-4，0） $\cup$ （0，4） D、（-1，0） $\cup$ （0，1）

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8. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{3}, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 (2 n + 1) a_{n} + 1}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前2017项和 $S_{2017} =$ （）

A、 $\frac{2016}{2017}$ B、 $\frac{2017}{2018}$ C、 $\frac{4034}{4035}$ D、 $\frac{4033}{4034}$

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二、多选题（共18分）

9. 已知函数 $f (x) = 2 a \sin ω x \cos ω x - 2 \cos^{2} ω x + 1$ $(ω > 0 ， a > 0)$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，且对任意的 $x \in R$ ， $f (x) \geq f (x_{0})$ 恒成立，下列说法正确的有（）

A、 $ω = 2$ B、若 $x_{0} = - \frac{π}{6}$ ，则 $a = \sqrt{3}$ C、若 $f (x_{0} - \frac{π}{2}) = 2$ ，则 $a = \sqrt{3}$ D、若 $g (x) = f (x) - 2 | f (x) |$ 在 $(x_{0} - \frac{3 π}{4} ， x_{0} - θ)$ 上单调递减，则 $\frac{π}{2} \leq θ < \frac{3 π}{4}$

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10. 圆M： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ 关于直线 $2 a x + b y + 6 = 0$ 对称，记点 $P (a ， b)$ ，下列结论正确的是（）

A、点P的轨迹方程为 $x - y - 3 = 0$ B、以PM为直径的圆过定点 $Q (2 ， - 1)$ C、 $| P M |$ 的最小值为6 D、若直线PA与圆M切于点A，则 $| P A | \geq 4$

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11. 已知抛物线 $W : y^{2} = 2 p x$ 与圆 $M : {(x - 6)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 64$ 相交于 $A, B$ ，线段 $A B$ 恰为圆 $M$ 的直径，且直线 $A B$ 过抛物线 $W$ 的焦点 $F$ ，则正确的结论是（）

A、 $p = 4$ 或 $p = 8$ B、圆 $M$ 与抛物线 $W$ 的准线相切 C、在抛物线 $W$ 上存在关于直线 $A B$ 对称的两点 D、线段 $A B$ 的垂直平分线与抛物线 $W$ 交于 $C, D$ ，则有 $| M A | \cdot | M B | = | M C | \cdot | M D |$

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三、填空题（共15分）

12. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ 为钝角， $∠ B = 20^{\circ}$ ，作 $A D ⊥ B C$ 交 $B C$ 于 $D$ .已知 $A B = 1, C D = 4$ ，则 $[A C] =$ .（其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）

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13. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = x^{2} - x - 1$ ，则当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时，f（x）=。

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14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有．
①A与C互斥；② $P (B | C) = \frac{1}{6}$ ；③A与D相互独立；④B与C相互独立．

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四、解答题（共77分）

15. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、若 $f (x) \leq x^{2}$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上有解，求实数a的取值范围.

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16. 在 $△ A B C$ 中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c.

(1)、若 $B = \frac{π}{4}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ， $a = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、若点D是 $B C$ 边上一点，且 $C D = 2$ ， $B D = 1$ ， $b^{2} + 2 c^{2} = 9$ ，求 $A D$ 的长.

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17. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2^{n + 1}, S_{n}, a$ 成等差数列 $(n \in N^{*})$ .

(1)、求 $a$ 的值及数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = - (a n + 1) a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图1，山形图是两个全等的直角梯形 $A B C D$ 和 $A B E F$ 的组合图，将直角梯形 $A B E F$ 沿底边 $A B$ 翻折，得到图2所示的几何体.已知 $A B / / C D / / E F$ ， $, A B = 2 C D = 2 E F, A B ⊥ B E$ ，点 $N$ 在线段 $C E$ 上，且 $E N = 2 N C$ 在几何体 $B C E - A D F$ 中，解决下面问题.

(1)、证明： $A E / /$ 平面 $B N D$ ；

(2)、若平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，证明： $B E ⊥ A D$ .

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19. 我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.

(1)、经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；

(2)、经统计年龄在 $[50, 59)$ 的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）

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