湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-04-13 类型：期中考试

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1. 已知集合 $M = {a, b}$ ， $N = {b, c}$ ，则 $M \cap N$ 等于（）

A、 ${a, b}$ B、 ${b, c}$ C、 ${a, c}$ D、 ${b}$

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2. 函数 $f (x) = 2^{x} - 3$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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3. 函数f（x）=sinx的最小正周期是（）

A、4π B、2π C、π D、 $\frac{π}{2}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (1, x) .$ 若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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5. 在区间 $(0, + \infty ）$ 为增函数的是（）

A、 $f (x) = - x$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = \lg x$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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6. 某检测箱中有10袋食品，其中有2袋符合国家卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{1}{6}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $A = 60^{\circ}, B = 45^{\circ},$ $b = \sqrt{6}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、6

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8. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $B_{1} D_{1}$ 与平面 $B C_{1} D$ 的位置关系是（）

A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、直线 $B_{1} D_{1}$ 在平面 $B C_{1} D$ 内

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9. 下列运算正确的有（）

A、 $\lg 2 + \lg 3 = \lg 5$ B、 $\log_{3} 100 = 10 \log_{3} 10$ C、 $4^{\log_{4} 5} = 5$ D、 $\log_{3} 4 \cdot \log_{4} 3 = 1$

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10. 已知 $a, b, c \in R$ ，下列选项中是“ $a > b$ ”的充分条件的是（）

A、 $a + c > b + c$ B、 $\frac{1}{b} > \frac{1}{a} > 0$ C、 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ D、 $a^{2} > b^{2}$

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11. 已知复数 $z = 5 - 4 i$ ，以下说法正确的是（）

A、 $z$ 的实部是5 B、 $|z| = \sqrt{41}$ C、 $\bar{z} = 5 + 4 i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点在第一象限

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12. 已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\cos α$ = ．

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13. 已知 $x > 0$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值是．

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14. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $P A = A D$ ，则异面直线 $P D$ 与 $B C$ 所成角的大小是.

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15. 已知 $\sin α = \frac{1}{2}, α \in (0, \frac{π}{2})$

(1)、求 $\cos α$ 的值；

(2)、求 $\sin 2 α + \cos 2 α$ 的值.

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16. 某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；

(2)、根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.

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17. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ 满足 $f (0) = 6, f (1) = 5$ ，
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在 $x \in [- 2, 2]$ 的最小值和最大值.

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18. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 2, a_{n} = 2 a_{n - 1} (n \geq 2, n \in N^{*})$ .

(1)、试写出 $a_{2}, a_{3}$ ，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 已知关于x，y的二元二次方程 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + k = 0 (k \in R)$ 表示圆C．
（1）求圆心C的坐标；
（2）求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使直线 $l : x - 2 y + 4 = 0$ 与圆C相交于M．N两点，且 $O M ⊥ O N$ （O为坐标原点）？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由．

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