1-4月之二次函数—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2025-04-26 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图，小明从离地面高度为 $1.5 m$ 的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为 $y = a {(x - 1)}^{2} + 2$ ，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的 $\frac{1}{4}$ ．现在地上摆放一个底面半径为 $0.3 m$ ，高为 $0.42 m$ 的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（　　）

A、3.7 B、4.1 C、5.5 D、5

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2. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，动点 $P$ 以 $1 cm / s$ 的速度自 $D$ 点出发沿 $D A$ 方向运动至A点停止，动点 $Q$ 以 $2 cm / s$ 的速度自A点出发沿折线 $A B C$ 运动至 $C$ 点停止，若点P、Q同时出发运动了 $t$ 秒，记 $△ P A Q$ 的面积为 $s {cm}^{2}$ ，且 $s$ 与 $t$ 之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中 $m$ 的值为（）．

A、1 B、 $1.2$ C、 $1.6$ D、2

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3. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(3, 4)$ ，点 $M$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 对称轴上的一个动点．小明经过探究发现：当 $\frac{b}{a}$ 的值确定时，抛物线的对称轴上能使 $△ A O M$ 为直角三角形的点 $M$ 的个数也随之确定．若抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 的对称轴上存在3个不同的点 $M$ ，使 $△ A O M$ 为直角三角形，则 $\frac{b}{a}$ 的值是（）

A、 $- 8$ B、 $8 \sqrt{2}$ 或 $- 8$ C、2 D、2或 $- 8$

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二、填空题

三、解答题

4. 背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息：
①球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米；
②篮筐的高度为3.05米；
③小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米．

(1)、求小李投篮时，篮球出手时的高度 $O A$ ；

(2)、在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9米；小姜竖直弹跳的最大高度为 $60 c m$ ，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由．

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5. 综合与探究
【定义】对于y关于 $x$ 的函数，函数在 $x_{1} ⩽ x ⩽ x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 范围内有最大值 $m$ 和最小值 $n$ ，则 $m - n$ 称为极差值，记作 $R [x_{1}, x_{2}] = m - n$ ．
【示例】如图（a），根据函数 $y = 2 x$ 的图象可知，在 $- 1 ⩽ x ⩽ 2$ 范围内，该函数的最大值是4，最小值为-2，即 $R [- 1, 2] = 4 - (- 2) = 6$ ．
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、直接写出反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的R[1，3]的值为 ▲ ；

(2)、已知二次函数 $y = x^{2} + b x + 5$ 的图象经过点 $(2, - 3)$ ．
①求该函数的表达式；
②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象；
③求该函数的 $R [- 1, 4]$ 的值．

(3)、已知函数 $y_{1} = k x (k > 0)$ ，函数 $y_{2} = (a - 1) x^{2} - 4 a x + a^{2} - 1$ 的图象经过点 $(0, 0)$ ，且两个函数的 $R [0, \frac{3}{2 k}]$ 相等，求 $k$ 的值．

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6. 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m，过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB=0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为Y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），在桌面上的落点为D，经测试，抛物线L的解析式为y=a（x-1）²+0.45，且当x=2时，y=0.25。

(1)、求出y与x之间的函数关系式；

(2)、桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？

(3)、乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L'：y=- $\frac{1}{2}$ $\sqrt{3}$ （x-p）（x-3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍击球面的中心线EF长为0.16m，下沿E在×轴上，假设抛物线L，L'与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①点为D的坐标为.
②球拍到桌边的距离CE的最大值是， CE的最小值是.

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7. 如图，是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究。下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池，以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，0为坐标原点，建立平面直角坐标系，他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.

(1)、如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为 $\frac{7}{8}$ 米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为；

(2)、如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度
差忽略不计）；

(3)、为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固，如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上，请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号），

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8. 已知点 $P (m, n)$ 在函数 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 的图象上.

(1)、若 $m = - 2$ ，求 $n$ 的值：

(2)、抛物线 $y = (x - m) (x - n)$ 与 $x$ 轴交于两点M ， N（ $M$ 在 $N$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $G$ ，记拋物线的顶点为 $E$ .
① $m$ 为何值时，点 $E$ 到达最高处；
②设 $△ G M N$ 的外接圆圆心为 $C, ⊙ C$ 与 $y$ 轴的另一个交点为 $F$ ，当 $m + n \neq 0$ 时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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9. 大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎.刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中AB ， CD为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑.已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体 $A$ 处，另一端固定在墙体 $D$ 处，骨架最高点 $P$ 到墙体AB的水平距离为2米，且点 $P$ 离地面的高度为3.75米.
请尝试数学建模解决以下问题：

(1)、在图1中，以 $B$ 为原点，水平直线BC为 $x$ 轴，AB所在直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系.设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为 $y$ （米），该处离墙体AB的水平距离为 $x$ （米），求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段AE ， FG组成，其中点 $E, F$ 在顶棚抛物线形骨架上， $F G / / A B$ 交AE于点 $G$ .为不影响耕作，将点E到地面的距离定为1.5米.求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度.

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10. 请阅读信息，并解决问题：

问题	芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息	深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．
处理信息	如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图， $A$ ， $B$ 分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端 $C$ ， $D$ 位于线段 $A B$ 上，且 $A C = B D$ ．一根琴弦固定在拱的对称轴 $O H$ 处，其余16根琴弦对称固定在 $O H$ 两侧，每侧各8根．记离拱端 $C$ 最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根， $\dots O H$ 为第9根， $\dots$
测量数据	测得上桥起点 $A$ 与拱端 $C$ 水平距离为20米，最靠近拱端 $C$ 的“琴弦” $E F$ 高9米， $E F$ 与 $O H$ 之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为 $m$ 米．
解决问题	任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
	任务2：求琴弦 $E F$ 与拱端 $C$ 的水平距离 $C E$ 及 $m$ 的值．
	任务3：若需要在琴弦 $E F$ 与 $O H$ 之间垂直安装一个如图所示高为 $17 m$ 的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面 $A B$ 上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？

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11. 对于二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 和一次函数 $y = - x + 1$ ，我们把 $y = t (x^{2} - 4 x + 3) + (1 - t) (- x + 1)$ 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A(1，0)和抛物线E上的点B(2，n)，请完成下列任务：
【尝试】
（1）当t=2时，抛物线 $y = t (x^{2} - 4 x + 3) + (1 - t) (- x + 1)$ 的顶点坐标为 .
（2）判断点A是否在抛物线E上；
（3）求n的值.
【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，定点的坐标 .
【应用】二次函数 $y = - 3 x^{2} + 5 x - 2$ 是二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 和一次函数 $y = - x + 1$ 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.

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12. 综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？

(1)、【分析问题】
①二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $(2, m)$ 和 $(5, m)$ ，此抛物线的对称轴为直线；
②如图2，已知二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 经过点 $(0, 6)$ ，且 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 图象均经过 $(2, 0)$ 和 $(5, 0)$ ，则 $a_{2}$ 的取值范围是；

(2)、解决问题】
以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以 $O$ ， $M$ 为端点的拱门表示原拱门， $E F$ 表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离 $h$ 的取值范围．

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13. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+6经过点（-1，3），且与一次函数y=×的图象交于点A和点 B（3，3）.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C（填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y=x对称；请你帮小聪计算出矩形AMNK的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边GH与心形图的右边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小

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14. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $A B = 4$ ．抛物线的对称轴 $x = 3$ 与经过点 $A$ 的直线 $y = k x - 1$ 交于点 $D$ ，与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、若在抛物线上存在点 $M$ ，使得 $△ A D M$ 是以 $A D$ 为直角边的直角三角形，求出所有点 $M$ 的坐标；

(3)、以点 $B$ 为圆心，画半径为 $2$ 的圆， $P$ 为 $☉ B$ 上一个动点，请求出 $P C + \frac{1}{2} P A$ 的最小值．

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15. 已知二次函数 $y = x^{2} + 2 a x - 3 a$ ．

(1)、若函数图象经过点 $(2, 5)$ ，解决下列问题：
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点 $A (1, n)$ 向左平移 $3 m (m > 0)$ 个单位，到达图象上的 $B$ 点；若将点 $A$ 向右平移 $m (m > 0)$ 个单位，则到达图象上的 $C$ 点，求 $C$ 点坐标．

(2)、设点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 是该函数图象上的两点，若 $x_{1} + x_{2} = 3$ ，求证： $y_{1} + y_{2} \geq \frac{9}{2}$ ．

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16. 在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} - 5 k x - 8$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，且 $8 A O = 3 C O$ ．

(1)、如图 $1$ ，求抛物线的解析式；

(2)、如图 $2$ ，点 $P$ 是第一象限抛物线上一点，其横坐标为 $m$ ，连接 $P C 、 A C 、 P A$ ， $P A$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ， $△ A C D$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $m$ 之间的函数关系式；

(3)、如图 $3$ ，在（ $2$ ）的条件下，点 $F$ 在 $P D$ 上（点 $F$ 不与点 $P$ 重合），过点 $F$ 作 $F R ⊥ x$ 轴交抛物线于点 $R$ ， $F R$ 交 $P C$ 于点 $M$ ，连接 $C R$ ，点 $E$ 在 $C R$ 上，连接 $D E 、 P E$ ， $P E$ 交 $F R$ 于点 $N$ ，若 $∠ C D E = ∠ P A B$ ， $F M : M R = 3 : 5$ ， $C E : E R = 3 : 2$ ，求 $N$ 点坐标．

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17. 综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过 $(2, m)$ 和 $(5, m)$ ，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 经过点 $(0, 6)$ ，且 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 与 $y_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 的图象均经过 $(2, 0)$ 和 $(5, 0)$ ，则 $a_{2}$ 的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以 $O$ ， $M$ 为端点的拱门表示原拱门， $E F$ 表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离 $h$ 的取值范围．

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18. 综合与实践．
【实践背景】
人体工学座椅通常具有可调节的功能，座椅的倾斜度、高度和深度等都可以根据使用者的需求进行调整．座椅在如图1的形态下，靠背与座面基本垂直，脚板收拢于座面下方，其结构简图如图3所示．
【实践操作】
现需要将座椅从图1的形态变成适合小李的图2的形态，使得靠背 $A E$ 与脚板 $B F$ 平行，请在图4中用尺规作图法画出脚板 $B F$ ；（保留作图痕迹，不要求写出作法）
【升级设计】
如图5，现将上述座椅简图置于平面直角坐标系中，把靠背 $A E$ 由直变曲，并赋予座面 $A B$ 一定的座位深度，使其不再与地面平行．其中曲线 $A E$ 是二次函数的部分图象，点 $A$ 为顶点：线段 $A B = 5 \sqrt{82} cm$ （实际生产时取 $A B \approx 45 cm$ ）；
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如果座椅两扶手之间相距 $60 cm$ ，现在还要制作一个无盖的长方体形纸箱用于包装此座椅，提供如下面积足够大的长方形纸皮，请你直接在图6中画出设计图（纸箱的展开图），并在图中标明尺寸．（要求：包装箱的体积最小）

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