4月下旬之图形的性质—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2025-04-26 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成。A、B、C、D为各多边形顶点，已知正六边形的边长为1，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$

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2. 小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若 $E F = 1, G H = 7$ ，则正方形 $A B C D$ 的周长为（　　）

A、14 B、17 C、20 D、24

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3. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 4, B C = 6$ ，菱形EFGH的三个顶点 $E, F, H$ 分别在矩形ABCD的边 $A B, B C, A D$ 上， $B E = 1$ ．得到如下两个结论：① $△ A E H$ 面积的最大值为 $3 \sqrt{7}$ ． ②点 $G$ 到BC的距离为3．则（）

A、①②都对 B、①②都错 C、①对②错 D、①错②对

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4. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”。如图是由四个全等的直角三角形（△ABF ， △DAE ， △BCG ， △CDH）拼接而成，连结HF并延长，交BC于点I。若BF=2，EF=1，则BI的长为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{13}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{13}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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二、填空题

5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2$ ，点 $D$ 是 $A C$ 的中点，以 $B$ 为圆心， $B D$ 长为半径作圆.若 $⊙ B$ 与线段 $A C$ 有两个交点，则 $B C$ 满足的条件是.

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6. 如图，分别在三角形纸板 $A B C$ 的顶点 $A, B$ 处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线 $A D$ 和 $B E$ ，相交于点 $P \cdot A B = 6, A C = 8, B C = 10$ .则 $C P$ 的长度是.

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7. 如图，在矩形ABCD中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①分别以点 $A$ 和 $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ 和 $N$ ．
②作直线MN交CD于点 $E$ ，若 $D E = 4, C E = 5$ ，对角线AC的长为．

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8. 如图，点P是正方形 $A B C D$ 的中心，过点P的线段 $E F$ 和 $G H$ 将正方形 $A B C D$ 分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形 $P Q M N$ ．连接 $H F$ ，记 $△ P H F$ 和 $△ H C F$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，设 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = k$ $(k > 1)$ ；

(1)、若A ， B ， Q三点共线，则 $k =$

(2)、正方形 $A B C D$ 和 $C J K L$ 的面积之比为．（用含k的代数式表示）

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三、作图题

9. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C, A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线．用尺规作 $C E ⊥ A D, E$ 是边AB上一点．
小明：如图2．以 $A$ 为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点 $E$ ，连接CE ，则 $A D ⊥ C E$ .
小丽：以点 $D$ 为圆心，CD长为半径作弧，交AB于点 $E$ ，连接CE ，则 $A D ⊥ C E$ ．
小明：小丽，你的作法有问题．
小丽：哦…我明白了！

(1)、给出小明作法中 $A D ⊥ C E$ 的证明．

(2)、指出小丽作法中存在的问题．

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10. 尺规作图问题：
如图1，已知 $∠ A B C$ ，用尺规作图方法作以 $B A, B C$ 为邻边的平行四边形 $A B C D$ .

(1)、如图2，根据作图痕迹，判定四边形 $A B C D$ 为平行四边形的依据是什么？

(2)、在图1中，请你再作一个平行四边形 $A B C D$ (方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明).

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11. 尺规作图问题：如图 $1$ ，在平行四边形 $A B C D$ 中 $(A D > A B)$ ，用尺规作 $∠ A B C$ 的角平分线．
小温：这简单！我们在八上就学过用尺规作角平分线的方法，除此之外，小外你还有其它做法吗？
小外：我想到了！如图 $2$ ，以 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径作弧，交 $A D$ 于点 $E$ ，连结 $B E$ ，则 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ．

(1)、按照小温的说法，在图 $1$ 中用尺规作 $∠ A B C$ 的角平分线．

(2)、小外的做法是否正确？若错误，请说明理由；若正确，请证明．

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12. 小明研究一道尺规作图题：作 $△ A B C$ 一边 $B C$ 上的高线．他的作法如下：如图，在 $△ A B C$ 中， $A B > A C$ ，以 $A$ 为圆心，以 $A C$ 为半径作弧交 $B C$ 于点 $D$ ，再分别以 $C$ 、 $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 长度为半径作两弧，两弧交于点 $E$ ，连接 $A E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，则 $A F$ 为 $B C$ 边上的高线．

(1)、你是否同意小明的作法，如同意请给出证明，不同意请说明理由．

(2)、若 $A B = 5$ ， $A C = \sqrt{13}$ ， $C F = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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13. 如图1， $∠ M A N = 72 °$ ，点P在 $∠ M A N$ 的平分线上， $P B ∥ A N$ 交 $A M$ 于点B．用尺规作图的方法在射线 $A N$ 上确定一点C，使 $△ A P C$ 是等腰三角形．
小明：如图2，以点A圆心， $A B$ 为半径作弧，交 $A N$ 于点C，连结 $P C$ ，则 $△ A P C$ 是等腰三角形．
小华：以P为圆心， $P B$ 为半径作弧，交 $A N$ 于点C，连结 $P C$ ，则 $△ A P C$ 是等腰三角形．
小明：小华，你的作法有问题．
小华：真的吗？让我们仔细想一想．

(1)、证明：小明所作的 $△ A P C$ 是等腰三角形；

(2)、小华所作的 $△ A P C$ 一定是等腰三角形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请给出反例．

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四、解答题

14. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，连结 $A O$ 交 $C B$ 于点D，交 $⊙ O$ 于点E，已知 $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ ．

(1)、求证： $\tan ∠ 1 = \frac{C D}{A C}$ ；

(2)、若 $C D = 3$ ， $A C = 4$ ，求 $A B$ 的长；

(3)、若 $C A = C B$ ，设 $⊙ O$ 的半径为r，求 $△ A B C$ 的面积（用含r的代数式表示）．

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15. 在 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，连结 $A D$ ， $A O$ 分别交 $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ， $∠ C A D = ∠ B A O$ ．

(1)、求证： $A D ⊥ B C$ ．

(2)、若 $A O ∥ C D$ ．
①求证： $C A = C F$ ．
②若 $C D = 5$ ， $B F = \sqrt{10}$ ，求 $B C$ 的长．

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16. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，过 $A, B, C$ 三点的 $⊙ O$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，连结 $A E$ .

(1)、求证： $A D = A E$ .

(2)、如图2，已知 $A D$ 为 $⊙ O$ 的切线，连结 $A O$ 并延长交 $B E$ 于点 $G$ .
①求证： $∠ A B G = 2 ∠ B A G$ ；
②若 $\frac{B G}{E G} = \frac{2}{3}$ ，求 $c o s D$ 的值.

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17. 已知 $△ A B C$ 内接于圆 $O$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交圆 $O$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ， $M$ 是 $A D$ 上一点．

(1)、若 $A B = A C$ ， _______，求 $∠ B D C$ 的度数．
① $A M = 2 M E = 2 D E$ ；② $∠ M B C = ∠ M B A = 2 ∠ B A D$ ．
（作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解 $∠ B D C$ 的度数．）

(2)、若 $A B = c, A E = m, A C = b$ ，求 $D E$ 的长．

(3)、若 $∠ M B C = ∠ M C A = ∠ M A B$ ，求证： $B C^{2} = A B \cdot A C$ ．

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