4月下旬之函数—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递

试卷更新日期：2025-04-26 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $A (x_{1}, t), B (x_{2}, t + 1)$ 两点在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，下列判断正确的是（）

A、当 $t > 0$ 时， $0 < x_{2} < x_{1}$ B、当－ $1 < t < 0$ 时， $x_{1} < x_{2} < 0$ C、当 $- 1 < t < 0$ 时， $0 < x_{2} < x_{1}$ D、当 $t < - 1$ 时， $x_{1} < x_{2} < 0$

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2. 已知 $a$ 是一个正数，点 $(x_{1}, - 2 a), (x_{2}, - a), (x_{3}, a)$ 都在反比例函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象上，则 $0, x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{3} < 0 < x_{1} < x_{2}$ B、 $x_{2} < x_{3} < 0 < x_{1}$ C、 $x_{1} < x_{2} < 0 < x_{3}$ D、 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$

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3. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与一次函数 $y = 2 x + 1$ 的图象交于点 $A （ 2 m, y_{1} ）$ ， $B （ - m, y_{2} ）$ ．则下列各式的值最大的是（）

A、 $y_{1} - y_{2}$ B、 $y_{1} + y_{2}$ C、 $y_{1} \cdot y_{2}$ D、 $\frac{y_{1}}{y_{2}}$

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二、填空题

4. 如图，在边长为1的小正方形网格中建立平面直角坐标系，坐标系中有 $A (3, 1), B (2, - 2), C (1, 0)$ 三点，设直线 $A B, B C, A C$ 的解析式分别为 $y_{1} = k_{1} x + b_{1}, y_{2} = k_{2} x + b_{2}, y_{3} = k_{3} x + b_{3}$ .则 $4 k_{1} + b_{1}, 4 k_{2} + b_{2}$ ， $4 k_{3} + b_{3}$ 中，最大值为（填具体数值）.

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5. 如图所示是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象，图象过点 $(3, 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，有下列四个结论：① $a b c < 0$ ；② $a - b + c = 0$ ；③ $y$ 的最大值为3；④方程 $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 有两个不相等的实根．其中正确的为．

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三、解答题

6. 小明骑自行车从体育馆去往火车站，小聪骑自行车从火车站去往体育馆，两人同时出发。出发1.2h后小明停下休息，直至与小聪相遇后，以原速度继续骑行，比小聪先到达终点。设小聪骑行时间为x（单位：h），两人之间的距离为y（单位：km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。

(1)、信息读取：
体育馆、火车站两地之间的距离为km；

(2)、图象理解：
求小明、小聪各自骑自行车的速度；

(3)、求两人出发多少小时后相距4km。

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7. 一辆小轿车和一辆大客车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线 $O - A - B - C$ 和线段OD分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程 $s (k m)$ 与时间 $t (h)$ 的关系，其中小轿车往返的速度相同.请结合图象解答下列问题：

(1)、分别求小轿车和大客车的速度；

(2)、小轿车和大客车出发后，是否能再次相遇，若能相遇，求出相遇时与甲地的距离；若不能相遇，请说明理由；

(3)、求出发后经过多少小时两车相距10km？

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8. 如图1， $M, N$ 两个实心直棱柱叠成的“几何体”水平放置在直棱柱容器内，三个直棱柱底面均为正方形.现向容器内匀速注水，注满为止.在注水过程中，水面高度 $y (c m)$ 与注水时间 $t (s)$ 之间的关系如图2.已知容器底面边长为 $6 c m$ .

(1)、容器内“几何体”的高度是多少?水淹没该“几何体”需要多少时间？

(2)、求注水的速度.

(3)、求直棱柱 $M$ 的底面边长.

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9. 对于二次函数 $y = a (x - 1)^{2} - a - 3 (a > 0)$ .

(1)、若二次函数的图象经过了 $(2, - 5), (1, - 4), (- 1, - 6)$ 三点中的某一个点.
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由.
②当 $x ⩾ m$ 时，该函数的最小值是-3，求 $m$ 的值.

(2)、若二次函数的图象经过点 $(n, p), (n + 3, q)$ ，求当 $p < q$ 时， $n$ 的取值范围.

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x - 3$ 的图象经过点 $(1, - 4)$ ．

(1)、求二次函数解析式及其对称轴；

(2)、将函数图象向上平移 $m$ 个单位长度，图象与 $x$ 轴相交于点 $A, B$ （ $A$ 在原点左侧），当 $A O : B O = 1 : 4$ 时，求 $m$ 的值；

(3)、当 $n - 1 \leq x \leq 3$ 时，二次函数的最小值为 $2 n$ ，求 $n$ 的值．

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11. 已知二次函数的解析式为 $y = x^{2} - 2 x + c$ ．

(1)、若点 $(t, c)$ 在该二次函数的图象上，求 $t$ 的值；

(2)、若该二次函数图象的顶点在 $x$ 轴上，求该二次函数的解析式；

(3)、当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，函数有最大值 $m$ 和最小值 $n$ ，求证： $m n \geq - 4$ ．

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12. 二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $(4, - 2)$ ，且对称轴为直线 $x = 1$ ．

(1)、求这个二次函数的解析式．

(2)、图象上的点 $(x, x)$ 称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标．

(3)、若 $P (x, y)$ 是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求 $y$ 的最大值与最小值的差．

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13. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 过点 $(1, 0), (- 2, - 3)$

(1)、请用含 $a$ 的代数式表示 $b$ .

(2)、若该抛物线关于 $y$ 轴对称后的图象经过点(3，0)，求该抛物线的函数表达式.

(3)、当 $1 < x < 3$ 时，对于每一个 $x$ 的值， $y < x$ 始终成立，试求 $a$ 的取值范围.

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14. 在同一平面直角坐标系中，若函数 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的图象只有一个公共点，则称 $y_{2}$ 是 $y_{1}$ 的相切函数，公共点称为切点．已知函数 $y_{1} = m x^{2} + n x$ ， $y_{2} = m x + n (m n \neq 0)$ ，且 $y_{2}$ 是 $y_{1}$ 的相切函数，点 $P$ 为切点．

(1)、试写出切点 $P$ 的坐标（____，____），及 $m$ 与 $n$ 的关系式_____．

(2)、当 $x \neq 1$ 时，试判断以下两组值① $m = 2$ ， $n = - 2$ ；② $m = - 3$ ， $n = 3$ 能否使 $y_{1} < y_{2}$ 成立？并说明理由．

(3)、若函数 $y_{1}$ 的图象经过点 $A (a, b_{1})$ ，函数 $y_{2}$ 的图象经过点 $B (a, b_{2})$ ，且 $b_{1} - b_{2} = m$ ，求 $a$ 的值．

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