四川省广安市2025届高三第二次诊断性考试数学试题

试卷更新日期：2025-03-26 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x \in N | - 1 < x \leq 1\}$ ，集合 $B = \{x | x = \sin α, α \in R\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素个数为（）

A、1 B、0 C、3 D、2

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2. 下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（）

A、 $y = 3^{x}$ B、 $y = \tan x$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = x + \frac{3}{x}$

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3. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $A = \frac{π}{4}$ ， $C = \frac{5 π}{12}$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $D$ 为以 $B C$ 为直径的半圆圆周上的动点（不同于 $B$ 、 $C$ 的点）.若 $A B = 5$ ， $B D = 3$ ，则该三棱锥体积的最大值为（）

A、4 B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{2}{3}$

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5. 关于二项式 $(x^{2} - \frac{a}{x}) {(1 + x)}^{6}$ ，若展开式中含 $x^{3}$ 的项的系数为21，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、3 D、-1

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6. 广安白塔始建于1174年至1224年间，塔的一至五层为石结构，六至九层为砖结构，每层均为四方结构（即每层底面为正方形）， $P$ 为第一层下底面四边形的外接圆 $O$ 内一点，经测算，每一层的高度恰为过 $P$ 的弦的长度的二分之一，并构成等差数列，顶层的高度为过点 $P$ 的圆的最短弦长度的一半，第一层的高度为过点 $P$ 的圆的最长弦长度的一半.已知该塔第一层底面四边形的边长为 $5 \sqrt{2}$ 米， $| O P | = 3$ 米，则塔高为（）

A、41米 B、40.5米 C、39.5米 D、38.7米

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7. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > a > 0)$ 的焦距为 $m$ ，过右顶点的直线 $l$ 与双曲线的一条渐近线平行.已知原点到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{8} m$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 若函数 $f (x)$ 的定义域内存在 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，使得 $f (x_{1}) - 1 = 1 - f (x_{2})$ 成立，则称该函数为“完备函数”.已知 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (ω x - \frac{2 π}{3}) - \frac{1}{2} \sin (ω x + \frac{4 π}{3}) (ω > 0)$ 是 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 上的“完备函数”，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[3, 4)$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $[2, 4)$ D、 $[3, + \infty)$

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二、多选题：本题共3个小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法中正确的是（）

A、具有相关关系的两个变量 $x$ ， $y$ 的相关系数为 $r$ ，那么 $| r |$ 越接近于0，则 $x$ ， $y$ 之间的线性相关程度越高 B、将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C、数据 $144$ ， $145$ ， $145$ ， $146$ ， $148$ ， $151$ ， $151$ ， $153$ ， $154$ ， $155$ ， $157$ ， $163$ 的上四分位数是154 D、设随机变量 $X$ 的均值为 $μ$ ， $a$ 是不等于 $μ$ 的常数，则 $X$ 相对于 $μ$ 的偏离程度小于 $X$ 相对于 $a$ 的偏离程度

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10. 设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $(n + 1) S_{n + 1} = (n + 2) S_{n} + n (n + 1) (n + 2)$ ， $n \in N^{*}$ ，若 $S_{1} = - 50$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a_{4} < 0$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 C、当 $n = 4$ 时， $S_{n}$ 取得最小值 D、当 $S_{n} > 0$ 时， $n$ 的最小值为8

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11. 已知定义域为 $(0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足 $\frac{f (x) + x f^{'} (x)}{e^{x}} = 1$ ， $f^{'} (1) - 1 = 0$ .数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，且 $a_{n + 1} f (a_{n + 1}) - f (a_{n}) = - 1$ ，则（）

A、 $f (\ln 2) \cdot \ln 2 = 1$ B、 $f (n) > 1$ C、 $a_{2025} < a_{2024}$ D、 $a_{n} \geq 1$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在复平面内，复数 $z$ 的对应点坐标为 $(1, - 2)$ ，则 $z^{2}$ 的共轭复数为.

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13. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 3$ ， $∠ B A C = 60^{°}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{D B}$ ， $P$ 在 $C D$ 上， $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A C} + λ \vec{A D}$ ，则 $\bar{A P} \cdot \bar{B C} =$ .

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14. 已知正方形 $A B C D$ 的中心为 $O$ ， $A B = 2$ ，现将其沿对角线 $A C$ 翻折，使得 $D$ 在面 $A B C$ 内的射影为 $A C$ 的中点，且 $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A D}$ ， $\vec{B F} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $∠ E O F =$ ，再将 $△ E O F$ 绕直线 $E F$ 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的体积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} - a x^{2}$ （ $a$ 为常数）.

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 $a$ 的值；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 有3个零点？若存在，求实数 $a$ 的范围；若不存在，请说明理由.

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16. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A A_{1} = 2$ ， $A_{1}$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为1.

(1)、证明：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、已知三棱锥 $B - A C C_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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17. 2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩 $\in (80, 100]$ ，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、从乙学校竞赛分数在 $(70, 90]$ 中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ ；

(2)、若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率；

(3)、现从参与竞赛的学生中随机抽取 $n (n \geq 8)$ 人，若要使 $P (Y = 8)$ 取得最大值（ $Y$ 表示 $n$ 人中优秀人数），求 $n$ 的值.

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18. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 40 = 0$ 与抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (ρ > 0)$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $| M N | = 8$

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、设过抛物线焦点 $F$ 的直线交 $C_{2}$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，过圆心 $C_{1}$ 的直线 $C_{1} A$ 与曲线 $C_{2}$ 的另一个交点为 $C$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 与 $C$ 之间.
（i）证明：线段 $B C$ 垂直于 $x$ 轴：
（ii）记 $△ F B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C_{1} F C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $8 S_{2} - S_{1}$ 的取值范围.

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19. 已知常数 $k$ 为非零整数，若函数 $y = f (x)$ ， $x \in [0, 1]$ 满足：对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0, 1]$ ， $\frac{|f (x_{1}) - f (x_{2})|}{|{(x_{1} + 1)}^{k} - {(x_{2} + 1)}^{k}|} \leq 1$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为 $N (k)$ 函数.

(1)、若函数 $y = m x$ ， $x \in [0, 1]$ 为 $N (2)$ 函数，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $y = f (x)$ 为 $N (1)$ 函数，图像在 $x \in [0, 1]$ 是一条连续的曲线， $f (0) = 0$ ， $f (1) = \frac{2}{3}$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在唯一的极大值点，求函数 $y = f (x)$ 最值差的绝对值的取值范围；

(3)、若 $a > 0$ ， $f (x) = \frac{1}{20} x^{2} + \frac{x}{10} + a \ln (x + 1)$ ，且 $y = f (x)$ 为 $N (- 1)$ 函数， $g (x)$ 为 $f (x)$ 的一阶导函数，对任意 $x$ ， $y \in [0, 1]$ ，恒有 $M \geq | g (x) - g (y) |$ ，记 $M$ 的最小值为 $M (a)$ ，求 $a$ 的取值范围及 $M (a)$ 关于 $a$ 的表达式.

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