四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2025-03-29 类型：月考试卷

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一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）

1. 数列 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \cdot \cdot \cdot$ 的递推公式可以是（）

A、 $a_{n} = \frac{1}{2^{n}} (n \in N^{*})$ B、 $a_{n} = \frac{1}{2 n} (n \in N^{*})$ C、 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} (n \in N^{*})$ D、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{2} + a_{3} + a_{6} + a_{9} + a_{10} = 10$ ，则 $a_{4} + a_{8}$ 的值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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3. 函数 $f (x) = (x - 3) e^{x}$ 的单调增区间是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(1 ， 4)$ . D、 $(2 ， + \infty)$

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4. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4} = 3 ， S_{8} = 9$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、21 B、18 C、15 D、12

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5. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足当 $x \in R$ 时， $f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) > 0$ ，若 $a > b$ ，则有（）

A、 $f (a) g (a) = f (b) g (b)$ B、 $f (a) g (a) > f (b) g (b)$ C、 $f (a) g (a) < f (b) g (b)$ D、 $f (a) g (a)$ 与 $f (b) g (b)$ 的大小关系不定

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6. 设P为曲线C： $y = x^{2} + 2 x + 3$ 上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，则点P横坐标的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$

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7. 已知首项为1的数列 ${a_{n}}$ ，且 $(n + 2) a_{n + 1} = 2 n a_{n}$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，则数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 为（）

A、 $\frac{n + 1}{n + 2}$ B、 $\frac{2 n + 1}{4 n + 2}$ C、 $\frac{n}{n + 1}$ D、 $\frac{2 n}{3 n + 1}$

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8. 已知正数数列 ${a_{n}}$ 是公比不等于1的等比数列，且 $a_{1} a_{2023} = 1$ ，试用推导等差数列前 $n$ 项和的方法探求：若 $f (x) = \frac{4}{1 + x^{2}}$ ，则 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + ⋯ + f (a_{2023}) =$ （）

A、2022 B、4044 C、2023 D、4046

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二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.）

9. 数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = - n^{2} + 7 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、 $a_{10} = - 14$ C、当 $n > 4$ 时， $a_{n} < 0$ D、当 $n = 3$ 或4时， $S_{n}$ 取得最大值

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10. 下列命题正确的有（）

A、已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，若 $f^{'} (1) = 2$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + 2 Δ x) - f (1)}{Δ x} = 2$ B、已知函数 $f (x) = ln (2 x + 1)$ ，若 $f^{'} (x_{0}) = 1$ ，则 $x_{0} = \frac{1}{2}$ C、 ${(\frac{cos x}{x})}^{'} = \frac{x sin x + cos x}{x^{2}}$ D、设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = x^{2} + 3 x f^{'} (2) + ln x$ ，则 $f^{'} (2) = - \frac{9}{4}$

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11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 $3$ 再加上 $1$ ；若是偶数，就将该数除以 $2$ ．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 $1 \to 4 \to 2 \to 1$ ．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数 $m = 8$ ，根据上述运算法则得出 $8 \to 4 \to 2 \to 1 \to 4 \to 2 \to 1$ ．猜想的递推关系如下：已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 5$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \\ 3 a_{n} + 1, a_{n} 为奇数 \end{array}$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{3} = 8$ B、 $a_{5} = 2$ C、 $S_{10} = 49$ D、 $S_{300} = 722$

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三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

12. 曲线 $y = 3 l n x$ 在点在 $x = 1$ 时的切线斜率为.

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13. 正项数列 ${a_{n}^{}}$ 共有9项，前3项成等差，后7项成等比， $a_{1}^{} = 1, a_{5}^{} = 12, a_{9}^{} = 192$ .前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{9}$ 的值为.

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14. 若 $A, B$ 分别是曲线 $y = e^{x}$ 与圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 上的点，则 $| A B |$ 的最小值为.

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四、解答题：（本大题共5个小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分.）

15. 已知曲线 $f (x) = x l n x$ ．

(1)、求曲线在 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、若曲线 $f (x)$ 在 $(1, 0)$ 处的切线与曲线 $y = a x^{2} + (a + 3) x + 1$ 相切，求 $a$ 的取值．

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16. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{4} = - 14$ ， $a_{3} + a_{5} = - 20$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、已知数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 是首项为1，公比为2的等比数列，求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = x - x \ln x - a$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = b x + 2$ .

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间.

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18. 某企业年初在一个项目上投资 $2$ 千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的 $50 %$ ，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出 $500$ 万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过 $n (n \in N^{*})$ 年后，该项目的资金为 $a_{n}$ 万元．

(1)、写出一个递推公式，表示 $a_{n + 1} 与 a_{n}$ 之间的关系，并求证：数列 ${a_{n} - 1000}$ 为等比数列；

(2)、若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（ $l g 3 \approx 0.5$ ， $l g 2 \approx 0.3$ ）

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19. 如图，曲线 $y = \sqrt{x}$ 下有一系列正三角形，设第n个正三角形 $△ Q_{n - 1} P_{n} Q_{n}$ （ $Q_{0}$ 为坐标原点）的边长为 $a_{n}$ ．

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ 的值；

(2)、求出 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设曲线在点 $P_{n}$ 处的切线斜率为 $k_{n}$ ，求证： $k_{1} k_{2} + k_{2} k_{3} + k_{3} k_{4} + \dots + k_{n - 1} k_{n} < \frac{3}{4} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

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