2024-2025学年浙江省杭州市七年级下学期期中拟试卷 [范围：1-3章]

试卷更新日期：2025-04-05 类型：期中考试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余 $4.5$ 尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（　　）

A、 $\{\begin{matrix} y - x = 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$ C、 $\{\begin{matrix} y - x = 4.5 \\ 0.5 y = x + 1 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$

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2. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（）

A、 $(2 x + y) (2 y - x)$ B、 $(- 1 + x y) (1 + x y)$ C、 $(2 x + y) (2 x + y)$ D、 $(- x + y) (x - y)$

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3. 将直角三角板 $A B C$ 按如图所示的方式摆放，其中 $m / / n$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，若 $∠ α = 42 °$ ，则 $∠ β =$ （）

A、 $48 °$ B、 $30 °$ C、 $60 °$ D、 $42 °$

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4. 如图所示，下列条件中，能判定 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ B + ∠ B A D = 180 °$ B、 $∠ 1 = ∠ 2$ C、 $∠ 3 = ∠ 4$ D、 $∠ B = ∠ D$

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5. 已知关于x，y的方程组 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 4 - a \\ x - y = 3 a \end{array}$ ，下列结论中正确的有几个（）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝﹣2；
②当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4+2a的解；
③无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
④若用x表示y，则y $= - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ ；

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每题3分，共18分）

6. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数 $x ， y$ 的系数与相应的常数项，即表示方程 $x + 4 y = 23$ ．则表示的方程是

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7. 分解因式：xy²﹣16x＝．

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8. 如图，已知 $A B ∥ C D$ ， E是射线 $B A$ 上一点（不包括端点B）， $△ B D E$ 沿 $D E$ 翻折得到 $△ F D E$ ， $∠ A E F = 2 ∠ C D F$ ， $∠ B = 66 °$ ，则 $∠ F D E =$ ．

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三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）

9. 计算.

(1)、-8²⁰¹⁵×（-0.125）²⁰¹⁶；

(2)、若2·8ⁿ·16ⁿ=2²² ，求n的值.

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10. 已知： $x, y, z$ 为三个非负实数，满足 ${\begin{array}{l} x + y + z = 30, \\ 2 x + 3 y + 4 z = 100. \end{array}$
求： $s = 3 x + 2 y + 5 z$ 的最小值．

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11. 在等式y＝ax²+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2时，y＝﹣10；求当x＝﹣2时，y的值．

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12. 已知在△ABC中，三边长a ， b ， c满足等式a²﹣21b²﹣c²+4ab+10bc＝0，请你探究a ， b ， c之间满足的等量关系，并说明理由．

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13. 用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b(a>b) 的四个相同的长方形拼成的一个大正方形。

(1)、用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到(a-b)²、(a+b)²、ab 三者之间的等量关系式：
利用上面所得的结论解答：已知a-b=5， $a b = \frac{11}{4}$ ，求a+b 的值。

(2)、类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，①如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： (a+b)³=。
②利用上面所得的结论解答：a+b=6，ab=7，求 a³+b³ 的值。

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14. 定义：关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ （其中 $a \neq b \neq c$ ）中的常数项 $c$ 与未知数系数 $a$ ， $b$ 之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如： $a x + b y = c$ 的交换系数方程为 $c x + b y = a$ 或 $a x + c y = b$ ．

(1)、方程 $3 x + 2 y = 4$ 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为；

(2)、已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ 的系数满足 $a + b + c = 0$ ，且 $a x + b y = c$ 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $m x + n y = p$ 的一个解，求代数式 $(m + n) m - p (n + p) + 2023$ 的值；

(3)、已知整数 $m$ ， $n$ ， $t$ 满足条件 $t < n < 8 m$ ，并且 $(10 m - t) x + 2023 y = m + t$ 是关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $(1 + n) x + 2023 y = 2 m + 2$ 的“交换系数方程”求 $m$ 的值．

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