甘肃省金昌市永昌县第一高级中学2023-2024学年高二下学期期中数学试卷

试卷更新日期：2024-07-15 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 $A (1, 3, 2)$ ， $B (- 1, 4, 1)$ ， $C (5, y, z)$ ，若 $\vec{A B} ∥ \vec{A C}$ ，则 $2 y - z =$ （）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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2. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - x + 1$ ，则 $f (x)$ 从1到 $1 + Δ x$ 的平均变化率为（）

A、2 B、 $2 Δ x + 3$ C、 $2 (Δ x)^{2} + 3 Δ x$ D、 $2 (Δ x)^{2} - Δ x + 1$

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3. 若 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3 ， - 2)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) =$ （）

A、22 B、 $- 22$ C、 $- 29$ D、29

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4. 曲线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 2$ 在点 $(- 1, \frac{3}{2})$ 处切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3π}{4}$ D、 $- \frac{π}{4}$

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5. 在四面体 $A B C D$ 中，点E满足 $\vec{D E} = λ \vec{D C} ，$ F为BE的中点，且 $\vec{A F} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A D} ，$ 则实数λ=（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = \frac{a e^{x} + b}{x} (x > 0)$ 取得最小值 $2 e$ ，则 $a + b =$ （）

A、2 B、1 C、－1 D、－2

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7. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $A A_{1} = A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点 $F$ 是棱 $B C$ 上的一点，且 $B F = 3 F C$ ，则直线 $A E$ 与 $C_{1} F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{16}{99}$ B、 $\frac{32}{99}$ C、 $\frac{8 \sqrt{33}}{99}$ D、 $\frac{16 \sqrt{33}}{99}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为R， $f (0) = 0$ 且 $f (x) + f^{'} (x) > 0$ ，则不等式 $f (x^{2} + 4 x - 5) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 5) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (5, + \infty)$ C、 $(- 5 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 5)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c} + \vec{a}$ C、 $3 \vec{a} - 4 \vec{b}$ ， $2 \vec{b} - 3 \vec{c}$ ， $3 \vec{a} - 6 \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $2 \vec{c}$

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10. 已知定义域为 $[- 3, 5]$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 有极小值 $f (2)$ C、 $f (x)$ 有2个极值点 D、 $f (x)$ 在 $x = - 3$ 处取得最大值

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C} + μ \vec{A D_{1}}$ ，其中 $λ \in (0, 1)$ ， $μ \in (0, 1)$ ，则（）

A、平面 $P A C ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C D$ B、当 $λ + μ = 1$ 时，三棱锥 $A_{1} - P B C_{1}$ 的体积为定值 C、当 $μ = \frac{3}{4}$ 时，存在点 $P$ ，使得 $B P ⊥ P C_{1}$ D、当 $λ = \frac{3}{4}$ 时，存在点 $P$ ，使得 $B C_{1} ⊥$ 平面 $P C D$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = 13 - 8 x + \sqrt{2} x^{2}$ ，且 $f^{'} (a) = 4$ ，则实数 $a$ 的值.

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13. 在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A A_{1} = 5$ ， $A B = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ，则 $B D_{1}$ 的长为.

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14. 若函数 $f (x) = 2 x^{2} - \ln x$ 在定义域内的一个子区间 $(k - 1 ， k + 1)$ 上不是单调函数，则实数k的取值范围.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(0, 1)$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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16. 在空间直角坐标系中，已知点 $A (- 2, 1, 2)$ ， $B (- 1, 2, 2)$ ， $C (- 3, 1, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、若 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ 互相垂直，求 $λ$ 的值；

(2)、求点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离．

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17. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 9 (a \in R)$ 的两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $x_{1} = - 2 x_{2}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最值.

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18. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{1} B C D_{1}$ 均为菱形， $∠ A B C = A_{1} B C = 60^{\circ}, cos ∠ A_{1} A B = \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

(1)、证明：平面 $A_{1} B C D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - D D_{1} - C_{1}$ 的正弦值.

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19. 定义：若函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象上分别存在点 $M$ 和 $N$ 关于 $x$ 轴对称，则称函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 具有 $C$ 关系．

(1)、判断函数 $f (x) = e^{x} - 2$ 和 $g (x) = x$ 是否具有 $C$ 关系；

(2)、若函数 $f (x) = x e^{x}$ 和 $g (x) = - k \sin x$ （ $k > 0$ ）在区间 $(0, π)$ 上具有 $C$ 关系，求实数 $k$ 的取值范围．

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