浙江省浙东北（ZDB）联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-05-13 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 函数 $f (x) = \ln (2 - x)$ 的定义域是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$

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2. 一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为 $X$ ，则 $P (X = 1) =$ （）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{5}{14}$

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3. 已知 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ ，则使 $f (x) < f (- 3 x^{2} + 4)$ 成立的实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{4}{3}, 1)$ B、 $(- 1, \frac{4}{3})$ C、 $(- \infty, 1) \cup (\frac{4}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (1, + \infty)$

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4. 苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知 $lg 5 \approx 0.699$ ，则 $2^{24}$ 是（）

A、5位数 B、6位数 C、7位数 D、8位数

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5. 函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的图象如图所示，则下列结论成立的是（）

A、 $a < 0, b < 0, c < 0, d > 0$ B、 $a < 0, b < 0, c < 0, d < 0$ C、 $a < 0, b > 0, c < 0, d > 0$ D、 $a > 0, b > 0, c > 0, d > 0$

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6. 定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（）

A、18 B、21 C、35 D、36

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7. 若 $x_{1}$ 是函数 $f (x) = e^{x} + x^{2} - 4 x$ 的一个极值点， $x_{2}$ 是函数 $g (x) = e^{3 - x} - 2 x + 2$ 的一个零点，则 $x_{1} + x_{2} =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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8. 一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为 $X_{1}$ ，期望方差分别为 $E (X_{1}), D (X_{1})$ ；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为 $X_{2}$ ，期望和方差分别为 $E (X_{2}), D (X_{2})$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $E (X_{1}) = E (X_{2}), D (X_{1}) < D (X_{2})$ B、 $E (X_{1}) = E (X_{2}), D (X_{1}) > D (X_{2})$ C、 $E (X_{1}) > E (X_{2}), D (X_{1}) > D (X_{2})$ D、 $E (X_{1}) < E (X_{2}), D (X_{1}) < D (X_{2})$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分.

9. 投掷一枚质地均匀的骰子，事件 $A =$ “朝上一面点数为偶数”，事件 $B =$ “朝上一面点数不超过2”，则下列结论正确的是（）

A、事件 $A, B$ 互斥 B、事件 $A, B$ 相互独立 C、 $P (B |A) = \frac{1}{3}$ D、 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$

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10. 下列等式正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1}$ B、 $C_{n}^{m} = \frac{n + 1}{m + 1} C_{n + 1}^{m + 1}$ C、 $A_{n + 1}^{n + 1} - A_{n}^{n} = n^{2} A_{n - 1}^{n - 1}$ D、 $\frac{(n + 1)!}{k!} - \frac{n!}{(k - 1)!} = \frac{(n - k + 1) \cdot n!}{k!} (k \leq n)$

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11. 已知 $f (x + 1)$ 为偶函数，对 $\forall x \in R, f (x) > 0$ ，且 $f (x + 1) = f (x) f (x + 2)$ ，若 $f (1) = 2$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $f (2) = \sqrt{2}$ B、 $f (3) = 1$ C、 $f (2024) = f (1)$ D、 $f (2024) = f (2)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若 $C_{n}^{2} = 21$ ，则 $n =$ ．

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13. 利率变化是影响某金融产品价格的重要因素经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%．根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为40%．则该金融产品价格上涨的概率为．

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14. 已知 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，直线 $y = k (x + \frac{9}{5})$ 与曲线 $f (x)$ 有三个不同的交点，则 $k$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = x - ln (x + 1)$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、证明：对 $\forall x \in [0, + \infty), f (x) \leq \frac{1}{2} x^{2}$ .

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16. 已知 ${(1 + \sqrt{x})}^{n}$ 展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中 $x^{2}$ 的系数．

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17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ P A B = 120 °, P A = A B, G$ 为 $△ P A B$ 的重心．

(1)、若点 $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $B E = \frac{1}{3} B C$ ，求证： $G E ∥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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18. 设函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} - a (x - 1), x \in R$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{0})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{0}$ ，求证： $x_{1} + 2 x_{0} = 3$ ；

(3)、若 $a > 0$ ，函数 $g (x) = |f (x + 1)|$ ，求 $g (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值．

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19. 某手机销售商为了了解一款 $5 G$ 手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量 $X$ （单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值 $\bar{X} = 300$ ，样本的标准差 $s = 50$ ．

(1)、经分析，可以认为该款手机的日销售量 $X$ 近似服从正态分布 $N (u, δ^{2})$ ，用样本的平均值 $\bar{X}$ 作为 $u$ 的近似值，用样本的标准差 $s$ 作为 $δ$ 的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在 $[300, 400)$ 之间的概率；

(2)、为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为 $n (n \in N)$ 的概率为 $P (n)$ ，
（ⅰ）求 $P (0), P (1)$ 的值，并证明：数列 $\{P (n) - P (n - 1)\} (n \in N^{*})$ 是等比数列；
（ⅱ）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量 $ξ ～ N (u, δ^{2})$ ，则 $P (u - δ \leq ξ < u + δ) \approx 0.6827$ ，
$P (u - 2 δ \leq ξ < u + 2 δ) \approx 0.9545, P (u - 3 δ \leq ξ < u + 3 δ) \approx 0.9973$ ．

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