华师大版数学七年级下册6.2二元一次方程组的解法（分层练习）

试卷更新日期：2025-03-09 类型：同步测试

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一、基础夯实

1. 用加减法解方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 3 ， \\ 3 x - 2 y = 11 \end{array}$ 时，有下列四种变形，其中正确的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} 4 x + 6 y = 3 ， \\ 9 x - 6 y = 11 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 6 x + 3 y = 9 ， \\ 6 x - 2 y = 22 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 4 x + 6 y = 6 \\ 9 x - 6 y = 33 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 6 x + 9 y = 3 ， \\ 6 x - 4 y = 11 \end{array}$

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2. 用代入法解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 5 ① \\ y = 1 + x ② \end{array}$ 时，把②代入①后得到的方程是（）

A、 $2 x - 1 + x = 5$ B、 $1 + x = 2 x + 5$ C、 $5 - 2 x = 1 + x$ D、 $2 x - 1 - x = 5$

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3. 利用加减消元法解方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 16 & ① \\ 5 x - 6 y = 33 & ② \end{array}$ ，要消去y，甲说：可以将①× $\frac{1}{4}$ +②× $\frac{1}{6}$ ；乙说：可以将①×（-6）-②×4．关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（）

A、甲对乙不对 B、甲不对乙对 C、甲乙都不对 D、甲乙都对

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4. 在解方程组 $\{\begin{matrix} 2 x + 5 y = 3 ， ① \\ 4 x + 11 y = 5 ， ② \end{matrix}$ 时，明明采用了一种“整体代换”的解法.
解：将方程②变形为4x+10y+y=5，即2(2x+5y)+y=5.③
把①代入③，得2×3+y=5，解得y=-1.
把y=-1代入①，得x=4，
∴方程组的解决为 $\{\begin{matrix} x = 4 ， \\ y = - 1 . \end{matrix}$
请用“整体代换”法解下列方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} 4 x - 3 y = 6 ， \\ 8 x - 7 y = 18 ， \end{matrix}$ 。

(2)、 $\{\begin{matrix} 2 (x + 3) + (2 y - 1) = 11 ， \\ 4 (x + 3) - 3 (2 y - 1) = 17 . \end{matrix}$

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5. 已知关于 $x ， y$ 的二元一次方程 ${\begin{array}{l} 2 a x + b y = 3 \\ a x - b y = 1 \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \end{array}$ ，则 $a + 2 b$ 的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解： ${\begin{array}{l} x - 2 y = 1 ① \\ 2 x + 2 y = 5 ② \end{array}$
第一步：由①得， $x = 2 y + 1$ ③
第二步：将③代入②，得 $2 \times 2 y + 1 + 2 y = 5$
第三步：解得 $y = \frac{2}{3}$
第四步：将 $y = \frac{2}{3}$ 代入③，解得 $x = \frac{7}{3}$
第五步：所以原方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = \frac{7}{3} \\ y = \frac{2}{3} \end{array}$

(1)、任务一：小强解方程组用的方法是消元法.（填“代入”或“加减”）；

(2)、任务二：小强解方程组的过程，从第步开始出现错误，错误的原因是；

(3)、任务三：请写出方程组正确的解答过程。

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7. 解方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} x = 2 y \\ 2 x - 3 y = 2 \end{matrix}$

(2)、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 5 y = 3 \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \end{array}$

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8. 用加减法解下列方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} 3 x + 4 y = 16, \\ 5 x - 6 y = 33 . \end{matrix}$

(2)、 $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = - \frac{20}{9}, \\ 3 x + 2 y = - \frac{5}{3} . \end{matrix}$

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9. 阅读小邦同学数学作业本上的截图内容并完成任务．

解方程组：

\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 8 ① \\ 2 x + 3 y = 7 ② \end{cases}

.
解：由①×2，②×3 得

\{\begin{cases} 6 x + 4 y = 16 ③ \\ 6 x + 3 y = 21 ④ \end{cases}

， …（第一步）
由③-④，得y=-5，…（第二步）
把y=-5代入②，得x=11，…（第三步）
所以原方程组的解是

\{\begin{cases} x = 11 \\ y = - 5 \end{cases}

， …（第四部）

任务：

(1)、这种求解二元一次方程组的解法叫做（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上解答过程从第步开始出现错误．

(2)、请写出该方程组的正确解答过程．

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10. 课堂上老师出了一道题目：解方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 15 ① \\ 16 x + 6 y = 140 ② \end{array}$

(1)、小组学习时，老师发现有同学这么做：
$① \times 6$ 得， $6 x + 6 y = 90$ ③，

$② - ③$ 得， $10 x = 50$ ，

∴ $x = 5$

把 $x = 5$ 代入①得 $y = 10$ ∴这个方程组的解是 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 10 \end{array}$

该同学解这个方程组的过程中使用了消元法，目的是把二元一次方程组转化为，这种解题方法主要体现了的数学思想．

(2)、请用另一种方法（代入消元法）解这个方程组．

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11. 已知关于x，y的二元一次方程组 ${\begin{cases} 5 x + 3 y = 2 m - 1 ， \\ x - y = - m + 2 \end{cases}$ ，的解满足 $x + y = 3$ ．

(1)、求m的值；

(2)、求原方程组的解．

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二、巩固提高

12. 已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 3 k \\ x - 3 y = 20 - k \end{array}$ 的解满足 $x - y = 6$ ，则 $k$ 的值为．

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13. 如果 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ 是方程组 ${\begin{array}{l} a x + b y = - 1 \\ b x + a y = 4 \end{array}$ 的解，那么代数式 $a - b$ 的值为．

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14. 我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科中，将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于 $x ， y$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1}, \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$
可以写成矩阵 $(\begin{matrix} a_{1} b_{1} c_{1} \\ a_{2} b_{2} c_{2} \end{matrix})$ 的形式
例如： $\{\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 16 ， \\ 5 x - 6 y = 33 ， \end{array}$ 可以写成矩阵 $(\begin{matrix} 3 & 4 & 16 \\ 5 & - 6 & 33 \end{matrix})$ 的形式．

(1)、填空：将 $\{\begin{array}{l} y - 5 = 4 x ， \\ 3 x - 2 y - 3 = 0 \end{array}$ 写成矩阵形式为

(2)、若矩阵 $(\begin{array}{l} a & - 5 & - 3 \\ - 4 & b & - 3 \end{array})$ 所对应的方程组的解为 $\{\begin{array}{l} x = 1 ， \\ y = 1 ， \end{array}$ 求 $a$ 与 $b$ 的值．

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15. 阅读并解答：
对于方程组 $\{\begin{matrix} \frac{x + y}{4} + \frac{x - y}{5} = 3 ， \\ \frac{x + y}{4} - \frac{x - y}{5} = - 1 ， \end{matrix}$ 不妨设 $\frac{x + y}{4}$ =u， $\frac{x - y}{5}$ =v，则原方程组就变成以u，v为未知数的方程组 $\{\begin{matrix} u + v = 3 ， \\ u - v = - 1 \end{matrix}$ 解得 $\{\begin{matrix} u = 1 ， \\ v = 2 ， \end{matrix}$ 从而求得原方程组的解是 $\{\begin{matrix} x = 7 ， \\ y = - 3 ， \end{matrix}$ 这种解法称之为换元法。
用换元法解方程组 $\{\begin{matrix} 3 (x + y) - 5 (x - y) = 16 \\ 2 (x + y) + (x - y) = 15 \end{matrix}$

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三、拓展提升

16. 阅读探索：
【知识累积】
解关于a，b的方程组 $\{\begin{matrix} (a - 1) + 2 (b + 2) = 6 ， \\ 2 (a - 1) + (b + 2) = 6 . \end{matrix}$
解：设a-1=x，b+2=y，原方程组可变为 $\{\begin{matrix} x + 2 y = 6 ， \\ 2 x + y = 6 ， \end{matrix}$ 解方程组，得 $\{\begin{matrix} x = 2 ， \\ y = 2 ， \end{matrix}$ 即 $\{\begin{matrix} a - 1 = 2 ， \\ b + 2 = 2 ， \end{matrix}$
所以 $\{\begin{matrix} a = 3 \\ b = 0 \end{matrix}$ 此种解方程组的方法叫换元法。

(1)、【拓展提高】
运用上述方法解方程组 $\{\begin{matrix} (\frac{a}{3} - 1) + 2 (\frac{b}{5} + 2) = 4 ， \\ 2 (\frac{a}{3} - 1) + (\frac{b}{5} + 2) = 5 . \end{matrix}$

(2)、【能力运用】
已知关于x，y的方程组 $\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} ， \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} ， \end{matrix}$ 的解为 $\{\begin{matrix} x = 5 ， \\ y = 3 ， \end{matrix}$ 直接写出关于m，n的方程组 $\{\begin{matrix} 5 a_{1} (m + 3) + 3 b_{1} (n - 2) = c_{1} \\ 5 a_{2} (m + 3) + 3 b_{2} (n - 2) = c_{2} \end{matrix}$ 的解．

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17. 阅读下列材料，并解决后面的问题．
材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘 $a \cdot a \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot a$ 记为 $a^{n}$ ，如 $2^{3} = 8$ ，此时，3叫做以2为底8的对数，记为 $l o g_{2} 8$ ，即 $l o g_{2} 8 = 3$ ．
一般地，若 $a^{n} = b (a > 0 且 a \neq 1, b > 0)$ ，则n叫做以a为底b的对数，记为 $l o g_{a} b$ ，即 $l o g_{a} b = n$ ．如 $3^{4} = 81$ ，则4叫做以3为底81的对数，记为 $l o g_{3} 81$ ，即 $l o g_{3} 81 = 4$ ．

(1)、计算下列各对数的值： $l o g_{3} 9 =$ ， $l o g_{3} 27 =$ ， $l o g_{2} 64 =$ ；

(2)、已知x ， y的值满足： $l o g_{x} 16 = 4$ ， $l o g_{x} (\frac{1}{2} x + 5 y) = 2$ ，求x ， y的值；

(3)、已知x ， y为正整数，且满足： $l o g_{5} (- 5 x + 10 y) = 2$ ， $l o g_{7} (x + n y) = 1$ ，当n为正整数时，求满足条件的x ， y的值．

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