湖南省历年（2020-2024）中考数学真题压轴解答题汇编（3）

试卷更新日期：2025-03-09 类型：二轮复习

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一、综合题

1. 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $F_{1} ： y = a {(x - \frac{2}{5})}^{2} + \frac{64}{15}$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- \frac{6}{5} ， 0)$ 和点B，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线 $F_{1}$ 的表达式；

(2)、如图2，将抛物线 $F_{1}$ 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线 $F_{2}$ ，若抛物线 $F_{1}$ 与抛物线 $F_{2}$ 相交于点D，连接 $B D$ ， $C D$ ， $B C$ ．
①求点D的坐标；

②判断 $△ B C D$ 的形状，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下，抛物线 $F_{2}$ 上是否存在点P，使得 $△ B D P$ 为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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2. 如图所示，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．

(1)、求点C及顶点M的坐标．

(2)、若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $B N 、 C N$ 求 $△ B C N$ 面积的最大值及此时点N的坐标．

(3)、若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．

(4)、直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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3. 已知直线 $y = k x - 2$ 与抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ （b，c为常数， $b > 0$ ）的一个交点为 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $M (m ， 0)$ 是x轴正半轴上的动点．

(1)、当直线 $y = k x - 2$ 与抛物线 $y = x^{2} - b x + c$ （b，c为常数， $b > 0$ ）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；

(2)、在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当 $S_{△ E Q M} = \frac{1}{2} S_{△ A C E}$ 时，求m的值；

(3)、点D在抛物线上，且点D的横坐标为 $b + \frac{1}{2}$ ，当 $\sqrt{2} A M + 2 D M$ 的最小值多 $\frac{27 \sqrt{2}}{4}$ 时，求b的值．

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4. 如图，抛物线 $y = a x^{2} - 6 x + c$ 交x轴于 $A ， B$ 两点，交y轴于点C ．直线 $y = - x + 5$ 经过点 $B ， C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、抛物线的对称轴l与直线 $B C$ 相交于点P ，连接 $A C ， A P$ ，判定 $△ A P C$ 的形状，并说明理由；

(3)、在直线 $B C$ 上是否存在点M ，使 $A M$ 与直线 $B C$ 的夹角等于 $∠ A C B$ 的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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5. 定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：

(1)、如图1，正方形 $A B C D$ 中，E是 $C D$ 上的点，将 $Δ B C E$ 绕B点旋转，使 $B C$ 与 $B A$ 重合，此时点E的对应点F在 $D A$ 的延长线上，则四边形 $B E D F$ 为“直等补”四边形，为什么？

(2)、如图2，已知四边形 $A B C D$ 是“直等补”四边形， $A B = B C = 5$ ， $C D = 1$ ， $A D > A B$ ，点 $B$ 到直线 $A D$ 的距离为 $B E$ ．
①求 $B E$ 的长．

②若M、N分别是 $A B$ 、 $A D$ 边上的动点，求 $Δ M N C$ 周长的最小值．

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6. 如图1，平面直角坐标系 $x O y$ 中，等腰 $Δ A B C$ 的底边 $B C$ 在x轴上， $B C = 8$ ，顶点A在y的正半轴上， $O A = 2$ ，一动点 $E$ 从 $(3 ， 0)$ 出发，以每秒1个单位的速度沿 $C B$ 向左运动，到达 $O B$ 的中点停止．另一动点F从点C出发，以相同的速度沿 $C B$ 向左运动，到达点O停止．已知点E、F同时出发，以 $E F$ 为边作正方形 $E F G H$ ，使正方形 $E F G H$ 和 $Δ A B C$ 在 $B C$ 的同侧．设运动的时间为 $t$ 秒（ $t \geq 0$ ）．

(1)、当点H落在 $A C$ 边上时，求t的值；

(2)、设正方形 $E F G H$ 与 $Δ A B C$ 重叠面积为S，请问是存在t值，使得 $S = \frac{91}{36}$ ？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，取 $A C$ 的中点D，连结 $O D$ ，当点E、F开始运动时，点N从点O出发，以每秒 $2 \sqrt{5}$ 个单位的速度沿 $O D - D C - C D - D O$ 运动，到达点O停止运动．请问在点E的整个运动过程中，点M可能在正方形 $E F G H$ 内（含边界）吗？如果可能，求出点M在正方形 $E F G H$ 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．

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7. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + 5$ 与x轴交于A，B两点．

(1)、若过点C的直线 $x = 2$ 是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线 $O P$ 的对称点 $B^{'}$ 恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(2)、当 $b \geq 4$ ， $0 \leq x \leq 2$ 时，函数值y的最大值满足 $3 \leq y \leq 15$ ，求b的取值范围．

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8. 已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P ，使EP＝CE ，连接BE ， FP ， BP ，设BC与DE交于M ， PB与EF交于N ．

(1)、如图1，当D ， B ， F共线时，求证：
①EB＝EP；

②∠EFP＝30°；

(2)、如图2，当D ， B ， F不共线时，连接BF ，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．

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9. 如图所示，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图像（记为抛物线 $Γ$ ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ．

(1)、若 $a = c$ ， $b = - 3$ ，且过点 $(1 ， - 1)$ ，求该二次函数的表达式；

(2)、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的判别式 $Δ^{'} = 4$ ．求证：当 $b < - \frac{5}{2}$ 时，二次函数 $y_{1} = a x^{2} + (b + 1) x + c$ 的图像与x轴没有交点．

(3)、若 $A B^{2} = \frac{c^{2} - 2 c + 6}{c}$ ，点P的坐标为 $(- \sqrt{x_{0}} ， - 1)$ ，过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的 $Γ$ 顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线 $Γ$ 交于点D，若 $∠ O P B = ∠ D A B$ ，求 $x_{0}$ 的最小值．

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10. 某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 $6cm$ ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．

(1)、写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

(2)、当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 $A B C D$ 时，求证：四边形 $A B C D$ 是菱形．

(3)、设平移的距离为 $x cm (0 < x \leq 6 + 6 \sqrt{2})$ ，两张纸条重叠部分的面积为 $s {cm}^{2}$ ．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．

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11. 如图，抛物线经过点 $A (- 3 ， 0)$ 、 $B (1 ， 0)$ 、 $C (0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $P (m ， n)$ 是抛物线上的动点，当 $- 3 < m < 0$ 时，试确定m的值，使得 $△ P A C$ 的面积最大；

(3)、抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足 $D A^{2} - D C^{2} = 6$ ，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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12. 如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且 $O A = 2$ ， $O B = 4$ ， $O C = 8$ ，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与 $△ M N B$ 相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

(3)、D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程.

(4)、点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰 $R t △ C Q R$ ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

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13. 如图 $1$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知直线 $y = k x + n$ 过 $B ， C$ 两点．

(1)、求抛物线和直线 $B C$ 的表达式；

(2)、点 $P$ 是抛物线上的一个动点，
①如图 $1$ ，若点 $P$ 在第一象限内，连接 $P A$ ，交直线 $B C$ 于点 $D$ ．设 $Δ P D C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ A D C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B C$ ，垂足为 $F$ ．点 $Q$ 是对称轴 $l$ 上的一个动点，是否存在以点 $E ， F ， P ， Q$ 为顶点的四边形是平行四边形?

若存在，求出点 $P ， Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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14. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”.例如 $(1 ， 1) ， (2021 ， 2021)$ ……都是“雁点”.

(1)、求函数 $y = \frac{4}{x}$ 图象上的“雁点”坐标；

(2)、若抛物线 $y = a x^{2} + 5 x + c$ 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）.当 $a > 1$ 时.
①求c的取值范围；

②求 $∠ E M N$ 的度数；

(3)、如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ 上一点，连接 $B P$ ，以点P为直角顶点，构造等腰 $R t △ B P C$ ，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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15. 如图，点 $O$ 为以 $A B$ 为直径的半圆的圆心，点 $M$ ， $N$ 在直径 $A B$ 上，点 $P$ ， $Q$ 在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，四边形 $M N P Q$ 为正方形，点 $C$ 在 $\overset{⌢}{Q P}$ 上运动（点 $C$ 与点 $P$ ， $Q$ 不重合），连接 $B C$ 并延长交 $M Q$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $A C$ 交 $M Q$ 于点 $E$ ，连接 $O Q$ .

(1)、求 $\sin ∠ A O Q$ 的值；

(2)、求 $\frac{A M}{M N}$ 的值；

(3)、令 $M E = x$ ， $Q D = y$ ，直径 $A B = 2 R$ （ $R > 0$ ， $R$ 是常数），求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并指明自变量 $x$ 的取值范围.

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16. 如图，半径为4的 $⊙ O$ 中，弦AB的长度为 $4 \sqrt{3}$ ，点C是劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．

(1)、求 $∠ A O B$ 的度数；

(2)、当点C沿着劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 从点A开始，逆时针运动到点B时，求 $Δ O D E$ 的外心P所经过的路径的长度；

(3)、分别记 $Δ O D E ， Δ C D E$ 的面积为 $S_{1} ， S_{2}$ ，当 $S_{1}^{2} - S_{2}^{2} = 21$ 时，求弦AC的长度．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的边 $B C$ 与x轴、y轴的交点分别为 $C (8 ， 0) ， B (0 ， 6) ， C D = 5$ ，抛物线 $y = a x^{2} - \frac{15}{4} x + c (a \neq 0)$ 过B ， C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿 $D \to A \to B \to C$ 的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿 $O C$ 方向运动，到达C点后，立即返回，向 $CO$ 方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段 $O C$ 上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为 $t$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求点D的坐标；

(3)、当点M ， N同时开始运动时，若以点M ， D ， C为顶点的三角形与以点B ， O ， N为顶点的三角形相似，求t的值；

(4)、过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q ，将线段 $B A$ 沿过点B的直线翻折，点A的对称点为 $A^{'}$ ，求 $A^{'} Q + Q N + D N$ 的最小值．

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18. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中，点 $P$ 为斜边 $B C$ 上一动点，将 $△ A B P$ 沿直线 $A P$ 折叠，使得点 $B$ 的对应点为 $B^{'}$ ，连接 $A B^{'}$ ， $C B^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $P B^{'}$ .

(1)、如图①，若 $P B^{'} ⊥ A C$ ，证明： $P B^{'} = A B^{'}$ .

(2)、如图②，若 $A B = A C$ ， $B P = 3 P C$ ，求 $cos ∠ B^{'} A C$ 的值.

(3)、如图③，若 $∠ A C B = 30 °$ ，是否存在点 $P$ ，使得 $A B = C B^{'}$ .若存在，求此时 $\frac{P C}{B C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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