湖南省历年（2020-2024）中考数学真题压轴填空题汇编（3）

试卷更新日期：2025-03-09 类型：二轮复习

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一、填空题

1. 由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积 $c^{2}$ 等于小正方形的面积 ${(a - b)}^{2}$ 与4个直角三角形的面积 $2 a b$ 的和证明了勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，还可以用来证明结论：若 $a > 0$ 、 $b > 0$ 且 $a^{2} + b^{2}$ 为定值，则当 $a$ $b$ 时， $a b$ 取得最大值．

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2. 阅读理解：对于x³﹣（n²+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x³﹣（n²+1）x+n＝x³﹣n²x﹣x+n＝x（x²﹣n²）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x²+nx﹣1）．

理解运用：如果x³﹣（n²+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x²+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x²+nx﹣1＝0，

因此，方程x﹣n＝0和x²+nx﹣1＝0的所有解就是方程x³﹣（n²+1）x+n＝0的解．

解决问题：求方程x³﹣5x+2＝0的解为．

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3. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：

数字

形式

纵式

|||

||||

|||||

横式

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下： $\begin{matrix} 6728 \\ 6708 \end{matrix}$ ，则 | 表示的数是．

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4. 据《汉书律历志》记载：“量者，龠（yuè）、合、升、斗、斛（hú）也”斛是中国古代的一种量器，“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形的外接一个圆，此圆外是一个同心圆”，如图所示．
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的周长为尺．（结果用最简根式表示）

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 4 ， A B = 8$ ．分别以点 $B ， D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径画弧，两弧相交于点 $E$ 和 $F$ ．作直线 $E F$ 分别与 $D C ， D B ， A B$ 交于点 $M ， O ， N$ ，则 $M N =$ ．

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $D E ⊥ A C$ ，垂足为点 $E$ .若 $\sin ∠ A D E = \frac{4}{5}$ ， $A D = 4$ ，则 $A B$ 的长为.

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7. 观察等式： $2 + 2^{2} = 2^{3} - 2$ ， $2 + 2^{2} + 2^{3} = 2^{4} - 2$ ， $2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} = 2^{5} - 2$ ，……，已知按一定规律排列的一组数： $2^{100}$ ， $2^{101}$ ， $2^{102}$ ，……， $2^{199}$ ，若 $2^{100} = m$ ，用含 $m$ 的代数式表示这组数的和是.

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8. 如图， $A B$ 为半⊙O的直径，M，C是半圆上的三等分点， $A B = 8$ ， $B D$ 与半⊙O相切于点B，点 $P$ 为 $\overset{⌢}{A M}$ 上一动点（不与点A，M重合），直线 $P C$ 交 $B D$ 于点D， $B E ⊥ O C$ 于点E，延长 $B E$ 交 $P C$ 于点F，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）
① $P B = P D$ ；② $\overset{⌢}{B C}$ 的长为 $\frac{4}{3} π$ ；③ $∠ D B E = 45 °$ ；④ $△ B C F ∽ △ P F B$ ；⑤ $C F \cdot C P$ 为定值．

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9. 观察下面的变化规律：
$\frac{2}{1 \times 3} = 1 - \frac{1}{3} ， \frac{2}{3 \times 5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} ， \frac{2}{5 \times 7} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} ， \frac{2}{7 \times 9} = \frac{1}{7} - \frac{1}{9}$ ，……

根据上面的规律计算：

$\frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} + \frac{2}{5 \times 7} + \dots + \frac{2}{2019 \times 2021} =$ ．

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10. 如图， $△ O B_{1} A_{1}$ ， $△ A_{1} B_{2} A_{2}$ ， $△ A_{2} B_{3} A_{3}$ ，…， $△ A_{n - 1} B_{n} A_{n}$ ，都是一边在x轴上的等边三角形，点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ，…， $B_{n}$ 都在反比例函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ，…， $A_{n}$ ，都在x轴上，则 $A_{n}$ 的坐标为．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，点 $P_{1}$ 的坐标 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，将线段 $O P_{1}$ 绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为 $O P_{1}$ 的2倍，得到线段 $O P_{2}$ ；又将线段 $O P_{2}$ 绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为 $O P_{2}$ 的2倍，得到线段 $O P_{3}$ ；如此下去，得到线段 $O P_{4}$ 、 $O P_{5}$ ，……， $O P_{n}$ （n为正整数），则点 $P_{2020}$ 的坐标是．

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12. 观察下列结论：
⑴如图①，在正三角形 $A B C$ 中，点M，N是 $A B ， B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，则 $A N = C M$ ， $∠ N O C = 60 °$ ；

⑵如图②，在正方形 $A B C D$ 中，点M，N是 $A B ， B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，则 $A N = D M$ ， $∠ N O D = 90 °$ ；

⑶如图③，在正五边形 $A B C D E$ 中，点M，N是 $A B ， B C$ 上的点，且 $A M = B N$ ，则 $A N = E M$ ， $∠ N O E = 108 °$ ；……

根据以上规律，在正n边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} \dots \dots A_{n}$ 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是 $A_{1} A_{2} ， A_{2} A_{3}$ 上的点，且 $A_{1} M = A_{2} N$ ， $A_{1} N$ 与 $A_{n} M$ 相交于O．也会有类似的结论．你的结论是．

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13. $∠ A O B$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 $∠ A O B = 60 °$ ，在 $∠ A O B$ 内有一点 $P (4 ， 3)$ ，M ， N分别是 $O A ， O B$ 边上的动点，连接 $P M ， P N ， M N$ ，则 $△ P M N$ 周长的最小值是．

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14. 如图1，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点P的运动路线为 $O - A - D - O$ ，点Q的运动路线为 $O - C - B - O$ .设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在 $A - D$ 段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米.

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15. 如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M，N不重合） $P Q ⊥ M N ， N E$ 平分 $∠ M N P$ ，交PM于点E，交PQ于点F．

(1)、 $\frac{P F}{P Q} + \frac{P E}{P M} =$ ．

(2)、若 $P N^{2} = P M \cdot M N$ ，则 $\frac{M Q}{N Q} =$ ．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，斜边 $A B = \sqrt{2}$ ，过点C作 $C F // A B$ ，以 $A B$ 为边作菱形 $A B E F$ ，若 $∠ F = 30 °$ ，则 $R t △ A B C$ 的面积为．

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