第1章《二次根式》——浙教版数学八年级下册单元检测

试卷更新日期：2025-03-06 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 若式子 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则实数x的值可能是（）

A、﹣1 B、0 C、1 D、2

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2. 估计 $\sqrt{3} \times (2 \sqrt{3} + \sqrt{5})$ 的值应在（）

A、10和11之间 B、9和10之间 C、8和9之间 D、7和8之间

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3. 下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ D、 $\sqrt{a^{2}}$

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4. 如果 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + 3$ ，那么y^x的算术平方根是（）

A、2 B、3 C、9 D、±3

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5. 已知实数a，b满足| $| a - 7 | + \sqrt{b - 11} = 0,$ 则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是( )

A、18 B、25 C、29 D、25或29

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6. $\sqrt{1 6^{2}}$ 的平方根是（）

A、16 B、±16 C、4 D、±4

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7. 下列说法：① 若两个数乘积为1，则这两个数必互为倒数；② 任何正数都有两个互为相反数的平方根；③ 立方根等于本身的数有1，0，-1；④ 一个数的算术平方根一定比原数小.其中错误的是（　　）

A、① B、② C、③ D、④

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8. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $(\sqrt{3} + 2) (\sqrt{3} - 2) = 1$ C、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} = 1$

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9. 若 $a = \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}$ ， $b = \sqrt{10} - \sqrt{11}$ ，则a与b的关系是（）

A、 $a = \frac{1}{b}$ B、 $a = - \frac{1}{b}$ C、 $a < b$ D、 $a > b$

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10. 某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如， $(\sqrt{5} - 2) (\sqrt{5} + 2) = 1$ ， $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ ， $(2 \sqrt{3} - \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} + \sqrt{2}) = 10$ ．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲： $\frac{1}{3 - \sqrt{5}} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ ；乙：设有理数a ， b满足： $\frac{a}{\sqrt{2} + 1} + \frac{b}{\sqrt{2} - 1} = - 6 \sqrt{2} + 4$ ，则 $a + b = 6$ ；
丙： $\frac{1}{\sqrt{2022} - \sqrt{2021}} > \frac{1}{\sqrt{2020} - \sqrt{2019}}$ ；丁：已知 $\sqrt{43 - x} - \sqrt{11 - x} = 4$ ，则 $\sqrt{43 - x} + \sqrt{11 - x} = 6$ ；
戊： $\frac{1}{3 + \sqrt{3}} + \frac{1}{5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}} + \frac{1}{7 \sqrt{5} + 5 \sqrt{7}} + ⋯ + \frac{1}{99 \sqrt{97} + 97 \sqrt{99}} = \frac{33 - \sqrt{11}}{66}$ .以上结论正确的有（　　　）

A、甲丙丁 B、甲丙戊 C、甲乙戊 D、乙丙丁

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 如图，数轴上点 $A$ 表示的数为 $a$ ，化简 $\sqrt{a^{2}} + \sqrt{{(a - 5)}^{2}}$ 的值是．

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12. 已知最简二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 与二次根式 $\sqrt{12}$ 是同类二次根式，则 $x =$ .

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13. 若 $|2024 - m| + \sqrt{m - 2025} = m$ ，则 $m - 2024^{2} =$ ．

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14. 已知 $\sqrt{a - 3} + \sqrt{b - 8} = 0$ ，则 ${(a - b)}^{2}$ 的平方根是．

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15. 设 $S = \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{2024^{2}} + \frac{1}{2025^{2}}}$ ，则与 $S$ 最接近的整数是．

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16. 对于任意不相等的两个数 $a$ ， $b$ ，定义一种运算 $※$ 如下： $a ※ b = \frac{\sqrt{a + b}}{a - b}$ ，如 $5 ※ 4 = \frac{\sqrt{5 + 4}}{5 - 4} = 3$ ，那么 $(2 - \sqrt{3}) ※ (7 ※ 5) =$ ．

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三、解答题（共7题，共72分）

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{18}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}} - 5$ ．

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18. 计算：

(1)、 $\sqrt{75} - {(2025 - π)}^{0} - |\sqrt{3} - 2|$

(2)、 ${(\sqrt{2} + \sqrt{6})}^{2} - (\sqrt{7} - \sqrt{3}) (\sqrt{7} + \sqrt{3})$

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19. 计算：

(1)、 $\sqrt{16} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} \times {(π - 1)}^{0} - {(- 1)}^{2013} + \sqrt[3]{- 27}$

(2)、 ${(\sqrt{3} - 1)}^{2} - \frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$

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20. 我们规定，对数轴上的任意点 P 进行如下操作：先将点 P 表示的数乘 $- 1,$ 再把所得数对应的点向右平移2个单位长度，得到点 P 的对应点 $P^{'} .$ 现对数轴上的点 A，B进行以上操作，分别得到点 $A^{'}, B^{'} .$

(1)、如图，若点 A 对应的数是 $- 2,$ 则点 $A^{'}$ 对应的数 $x =$ ；若点 $B^{'}$ 对应的数是 $\sqrt{3} + 2,$ 则点B 对应的数 $y =$ .

(2)、在(1)的条件下，求代数式 $\sqrt{\frac{1}{x}} - (y + \frac{1}{2})$ 的值.

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21. 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”.例如：1，4，9这三个数， $\sqrt{1 \times 4} = 2, \sqrt{1 \times 9} = 3, \sqrt{4 \times 9} = 6,$ 其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数被称为“和谐组合”，最小算术平方根是2，最大算术平方根是6.

(1)、请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根.

(2)、已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值.

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22. 如图，一只蚂蚁从点 A 沿数轴向右爬了2个单位长度到达点 B，点A 表示 $- \sqrt{2} .$ 设点 B所表示的数为m.

(1)、m 的值是.

(2)、求 $| m + 1 | + | m - 1 |$ 的值.

(3)、在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有 $| 2 c + d |$ 与 $\sqrt{d + 4}$ 互为相反数，求2c-3d的平方根.

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23. 若一个含根号的式子 $a + b \sqrt{x}$ 可以写成 $m + n \sqrt{x}$ 的平方 $($ 其中 $a$ ， $b$ ， $m$ ， $n$ 都是整数， $x$ 为正整数 $)$ ，即 $a + b \sqrt{x} = (m + n \sqrt{x})^{2}$ ，则称 $a + b \sqrt{x}$ 为完美根式． $m + n \sqrt{x}$ 是 $a + b \sqrt{x}$ 的完美平方根 $.$ 例如：因为 $19 - 6 \sqrt{2} = (1 - 3 \sqrt{2})^{2}$ ，所以 $1 - 3 \sqrt{2}$ 是 $19 - 6 \sqrt{2}$ 的完美平方根．

(1)、已知 $2 \sqrt{3} - 3$ 是 $a - 12 \sqrt{3}$ 的完美平方根，求 $a$ 的值；

(2)、若 $m + n \sqrt{7}$ 是 $a + b \sqrt{7}$ 的完美平方根，用含 $m$ ， $n$ 的式子表示 $a$ ， $b$ ．

(3)、已知 $22 - 12 \sqrt{2}$ 为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．

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第1章 《二次根式》——浙教版数学八年级下册单元检测

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共7题，共72分）

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