浙江金兰教育合作组织2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-24 类型：期中考试

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. “笑靥踏青行，不负好韶光”，4月初某学校组织安排了高二年段的研学踏青活动，现要求5个班级分别从3个景点中选择一处游览，则不同的选法有（）种

A、 $3^{5}$ B、 $5^{3}$ C、 $A_{5}^{3}$ D、 $3 C_{5}^{3}$

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2. ${(x - y)}^{2024}$ 的二项展开式中，第m项的二项式系数是（）

A、 $C_{2024}^{m}$ B、 $C_{2024}^{m + 1}$ C、 $C_{2024}^{m - 1}$ D、 ${(- 1)}^{m - 1} C_{2024}^{m - 1}$

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3. 下列说法正确的是（）

A、线性回归分析中决定系数 $R^{2}$ 用来刻画回归的效果，若 $R^{2}$ 值越小，则模型的拟合效果越好 B、两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C、正态分布 $N (μ, σ^{2})$ 的图象越瘦高， $σ$ 越大 D、残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

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4. 从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、2

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5. 某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X服从正态分布 $N (3.5, σ^{2})$ ，若 $P (X > t) = 0.3$ ，则 $P (X > 7 - t) =$ （）

A、0.2 B、0.7 C、0.8 D、0.9

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6. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，组委会将篮球、网球、排球、空手道、击剑、摔跤6个项目安排在3个不同的体育场馆比赛，每个场馆安排2个项目，其中排球、空手道必须安排到同一场馆，则不同的排法共有（）

A、12种 B、18种 C、36种 D、54种

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7. 为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的 $\frac{1}{6}$ ，没接种且发病的占没接种的 $\frac{1}{3}$ ，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有（）只
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.635
7.879
10.828

A、35 B、36 C、37 D、38

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8. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列为
$ξ$
a
b
P
b
a
则下列说法不正确的是（）

A、 $\forall a$ ， $b \in (0, 1)$ ， $E (ξ) ≤ \frac{1}{2}$ B、 $\forall a$ ， $b \in (0, 1)$ ， $D (ξ) = E (ξ^{2}) - {[E (ξ)]}^{2}$ C、 $\exists a$ ， $b \in (0, 1)$ ， $D (ξ) > \frac{1}{3}$ D、 $\exists a$ ， $b \in (0, 1)$ ， $D (ξ) > \frac{1}{3} E (ξ)$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 下列说法中正确的有（）

A、将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 B、已知随机变量X服从二项分布 $B (n, P)$ ，若 $E (X) = 30$ ， $D (X) = 20$ ，则 $P = \frac{2}{3}$ C、设随机变量 $X ~ N (3, 2^{2})$ ，则 $E (\frac{1}{2} X + 1) = \frac{5}{2}$ ， $D (\frac{1}{2} X + 1) = 2$ D、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = \ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 0.4 x + 3$ ，则c，k的值分别是 $e^{3}$ 和0.4

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10. 已知 $f (x) = {(2 x - m)}^{7} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + ⋯ + a_{7} {(x - 1)}^{7}$ ，若 $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + ⋯ + \frac{a_{7}}{2^{7}} = 128$ ，则正确的是（）

A、 $m = 1$ B、 $a_{3} = 160$ C、 $f (3)$ 除以6所得余数为5 D、 $a_{1} - 2 a_{2} + 3 a_{3} - 4 a_{4} + 5 a_{5} - 6 a_{6} + 7 a_{7} = 14$

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11. 甲、乙两个罐子均装有2个红球，2个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同．先从甲罐中随机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件 $A_{i}$ （ $i = 0$ ， 1，2）表示从甲罐中取出的2个球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则正确的是（）

A、 $P (A_{1}) = \frac{3}{5}$ B、 $P (B | A_{2}) = \frac{4}{7}$ C、 $P (A_{1} B) = \frac{2}{35}$ D、 $P (B) = \frac{2}{5}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

12. 某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据 $(x, y)$ ，如表所示．根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.7 x + \hat{a}$ ．据此计算出在样本 $(3, 2)$ 处的残差为．
x
2
3
4
5
6
y
1.5
2
3.5
4
5.5

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13. 在 ${(x^{2} + x - \frac{2}{y})}^{7}$ 的展开式中， $\frac{x^{6}}{y^{3}}$ 的系数为．

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14. 每年的3月5日是学雷锋活动纪念日，某学校团委推荐甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加四个乡镇的志愿者服务，每个乡镇至少安排一人，且甲、乙两人安排在同一个乡镇，丙、丁两人不安排在同一个乡镇，则不同的分配方法总数为．

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四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15. 2022年，华为公司持续加大研发投入，2022年研发投入达到1615亿元，占全年收入的25.1%均处于历史高位，十年累计投入的研发费用超过9773亿元．为进一步突破卡脖子的技术，解决芯片制造的难题，以保持面向未来的持续创新能力，华为某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组该技术研发投入x（单位：亿元）与收益y（单位：亿元）的数据如下表所示：
研发投入
3
4
5
6
6
7
8
9
收益
8
9
11
10
13
15
17
21

(1)、已知可用一元线性回归模型 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 拟合y与x的关系，求此经验回归方程；

(2)、该高科技企业主要研发了一类新产品，已知该产品的品质达到世界超一流水平的概率为 $\frac{2}{3}$ ，现随机抽取5件产品，求至少有3件产品的品质到达世界超一流水平的概率．
（附：对于一组数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{n}, y_{n})$ ，其经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和纵截距的最小二乘法估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ； $\sum_{l = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 683$ ．）

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16. 2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）

(1)、女生互不相邻的坐法有多少种？

(2)、若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？

(3)、若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？

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17. 在二项式 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中，

(1)、若第4项的系数与第6项的系数比为5∶6，求展开式中的有理项；

(2)、若展开式中只有第5项的二项式系数最大，求展开式中系数最大的项．

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18. 某校高三年级有750人，某次考试不同成绩段的人数 $ξ ~ N (125, 64)$ ，且所有得分都是整数．

(1)、求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差；

(2)、计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数）

(3)、本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择两个选项的概率为 $\frac{1}{2}$ ，选择三个选项的概率为 $\frac{1}{6}$ .已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望．
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X ≤ μ + σ) \approx 0.6827$ ； $P (μ - 2 σ < X ≤ μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ； $P (μ - 3 σ < X ≤ μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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19. 一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9．

(1)、请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联．

感兴趣
不感兴趣
合计
男生
女生
15
合计
50
100

(2)、一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为 $X_{n}$ ，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为 $a_{n}$ ，恰有2艘“M1转移塔”的概率为 $b_{n}$ ，求
①求X的分布列；
②求 $a_{n}$ ；
③试判断 $E (X_{n})$ 是否为定值，并加以证明．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.100
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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$α$	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.635	7.879	10.828

$ξ$	a	b
P	b	a

x	2	3	4	5	6
y	1.5	2	3.5	4	5.5

研发投入	3	4	5	6	6	7	8	9
收益	8	9	11	10	13	15	17	21

	感兴趣	不感兴趣	合计
男生
女生	15
合计	50		100