广东省深圳市新安中学(集团)燕川中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷

试卷更新日期：2024-04-19 类型：月考试卷

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1. 现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，3幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）

A、10种 B、12种 C、20种 D、36种

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2. 若函数 $f (x) = x^{3} - f^{'} (1) x^{2} + 3$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 若函数 $f (x) = x - \frac{4}{x} - a ln x$ 单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, - 4]$ C、 $[- 4, 4]$ D、 $(- \infty, 4]$

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4. 若函数 $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + b$ 在 $x = 2$ 处取得极值1，则 $a - b =$ （）

A、-4 B、-3 C、-2 D、2

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5. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为（）

A、6 B、12 C、20 D、72

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6. 在 ${(x + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数为（）

A、60 B、-60 C、12 D、-12

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7. 函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{e^{x} + 1}) \cdot sin x$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知 $a = \frac{1}{e}$ ， $b = \frac{\ln 7}{7}$ ， $c = \frac{\ln 5}{5}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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9. 下列运算正确的是( )

A、 ${(c o s \frac{π}{6})}^{^{'}} = - \frac{1}{2}$ B、 ${[l n (3 x + 1)]}^{^{'}} = \frac{3}{3 x + 1}$ C、 ${(\frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{^{'}} = - \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{4}}}$ D、 ${(e^{- x})}^{^{'}} = e^{- x}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 的导函数的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 有 $3$ 个极大值点 B、 $f (x)$ 在 $x = a$ 处取得极大值 C、 $f (b) < f (c) < f (d)$ D、 $f (a) > f (b)$

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11. 已知 ${(2 - 3 x)}^{11} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{11} x^{11}$ ，则（）

A、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{11} = - 1 - 2^{11}$ B、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11} = 1 - 5^{11}$ C、 $|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \dots + |a_{11}| = 5^{11} - 2^{11}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 11 a_{11} = - 33$

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12. 若 $C_{m}^{3} = A_{m}^{2}$ ，则 $m =$ .

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13. 设函数 $f (x) = l n x - 2 m x$ （m为实数），若 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数m的取值范围．

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14. 定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x f' (x) - 1 < 0$ ，且 $f (1) = 1$ ，则不等式 $f (2 x - 1) > \ln (2 x - 1) + 1$ 的解集是．

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15. 求等式 $\frac{C_{n - 1}^{5} + C_{n - 3}^{3}}{C_{n - 3}^{3}} = \frac{19}{5}$ 中的 $n$ 值.

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16. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{a}{2} x^{2}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间.

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17. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} + a_{3} = a_{4} = 5$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n + 1} a_{n + 2}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B D, A C = A D, A B = B D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥ B D$ ；

(2)、求锐二面角 $A - C D - B$ 的余弦值．

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19. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线方程为 $x - \sqrt{2} y = 0$ ，焦点到渐近线的距离为1．

(1)、求双曲线C的标准方程与离心率；

(2)、已知斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线l与双曲线C交于x轴上方的A ， B两点，O为坐标原点，直线OA ， OB的斜率之积为 $- \frac{1}{8}$ ，求 $△ O A B$ 的面积．

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