广西贵港市2024-2025学年九年级上学期期末检测数学试卷

试卷更新日期：2025-01-16 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - 2 x = 1$ B、 $x y + 1 = 0$ C、 $\frac{1}{y} - 2 x = 0$ D、 $2 x^{3} - 1 = 3$

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2. sin60°的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 关于反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、图象经过点 $(1, 2)$ B、图象分布在第二、四象限 C、图象关于 $x$ 轴对称 D、 $y$ 随着 $x$ 的增大而增大

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4. 抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(- 1, - 4)$

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5. 甲、乙两名同学在6次数学测验中，他们的平均成绩和方差分别为 ${\bar{x}}_{甲} = 90$ 分， ${\bar{x}}_{乙} = 90$ 分， $S_{甲}^{2} = 0.7$ ， $S_{乙}^{2} = 0.5$ ，则下列说法正确的是（）

A、两人发挥一样稳定 B、甲发挥更稳定 C、乙发挥更稳定 D、无法确定谁发挥更稳定

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6. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}$ 的值是（）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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7. $⊙ O$ 的半径为4，点P在 $⊙ O$ 外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件是（）

A、 $0 < d < 4$ B、 $d = 4$ C、 $d > 4$ D、 $d \geq 4$

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8. 若两个相似三角形的相似比是 $1 : 4$ ，则这两个相似三角形的周长比是（）

A、 $1 : 4$ B、 $1 : 5$ C、 $1 : 6$ D、 $1 : 8$

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9. 商场里，一件衣服经过两次连续降价，售价由原来的 $85$ 元降到了 $70$ 元．设平均每次降价的百分率为 $x$ ，则下列方程中正确的是（）

A、 $70 {(1 + x)}^{2} = 85$ B、 $85 {(1 + x)}^{2} = 70$ C、 $70 {(1 - x)}^{2} = 85$ D、 $85 {(1 - x)}^{2} = 70$

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10. 《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，问门的高度是（）

A、7尺 B、8尺 C、9尺 D、10尺

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11. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是弦， $A B$ 与 $C D$ 相交于点E，且 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{A D}$ ， $A E = 3$ ， $C D = 10$ ，则直径 $A B$ 的长为（）

A、 $\frac{34}{6}$ B、 $\frac{23}{2}$ C、 $\frac{25}{2}$ D、 $\frac{34}{3}$

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12. 如图为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）图象的一部分，与x轴的一个交点为 $P (- 6, 0)$ ，对称轴为直线 $x = - 2$ ．当 $y > 0$ 时，x的取值范围是（）

A、 $x < - 6$ B、 $- 6 < x < 2$ C、 $x < - 6$ 或 $x > 2$ D、 $- 6 < x < - 2$

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二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．）

13. 二次函数 $y = 4 x^{2}$ 的图象开口方向是向（填“上”或“下”）．

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14. 如图， $D E ∥ B C$ ，若 $D B = 3$ ， $A B = E C = 5$ ，则 $A E$ 的长为．

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15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 4 cm$ ， $B C = 6 cm$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1 cm/s$ 的速度沿 $A B$ 运动；同时，点 $Q$ 从点 $B$ 出发，以 $2 cm/s$ 的速度沿 $B C$ 运动．当点 $Q$ 到达 $C$ 时， $P 、 Q$ 两点同时停止运动．则 $△ P B Q$ 的最大面积是．

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16. 如图，公园内有一个半径为6米的圆形草坪，为了避免游客踩踏草坪，现从A地到B地修建了观赏路（劣弧 $A B$ ）和便民路（线段 $A B$ ）．已知A，B是圆上的点，O为圆心，扇形 $A O B$ 的面积为 $12 π$ 平方米，小明从A走到B，走便民路比走观赏路少走米．（结果保留 $π$ ）

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三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. （1）计算： $(- 1) \times (- 3) + {(- 2)}^{2} \div (6 - 4)$ ；
（2）解方程： $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ ．

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ）的图象经过点 $A (3, m)$ ，过点A作 $A B$ 垂直x轴的，垂足为点B，且 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ．

(1)、求m和k的值；

(2)、若点 $C (x, y)$ 也在这个函数的图象上，当 $1 \leq x \leq 4$ 时，求函数值y的取值范围．

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19. 某校为掌握九年级学生每周的自主学习情况，学生会随机抽取九年级的部分学生，调查他们每周自主学习的时间，并把自主学习的时间（ $t$ ）分为四组： $A$ 组（ $0 h \leq t < 3 h$ ）， $B$ 组（ $3 h \leq t < 6 h$ ）， $C$ 组（ $6 h \leq t < 9 h$ ）， $D$ 组（ $t \geq 9 h$ ），将分组结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、求出本次抽样调查的样本容量；

(2)、补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中 $B$ 所在扇形的圆心角的度数；

(3)、根据调查结果可知，自主学习时间的中位数落在＿＿＿组；

(4)、若该校九年级有 $1800$ 名学生，请估计一周自主学习的时间少于 $6 h$ 的人数．

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20. 某“综合与实践”小组开展了测量学校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．

课题	测量旗杆的高度
成员	组长：唐小明组员：黄小刚，李小英，张小红
测量工具	测量角度的仪器、皮尺等
测量示意图	说明：线段 $G H$ 表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度 $A C = B D = 1.5 m$ ，测点 $A$ ， $B$ 与 $H$ 在同一条水平直线上， $A$ ， $B$ 之间的距离可以直接测得，且点 $G$ ， $H$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在同竖直平面内．点 $C$ ， $D$ ， $E$ 在同一条直线上，点 $E$ 在 $G H$ 上．
	测量项目	第一次	第二次	平均值
测量数据	$∠ G C E$ 的度数	$37.1 °$	$36.9 °$	$37 °$
	$∠ G D E$ 的度数	$45.2 °$	$44.8 °$	$45 °$
	$A$ ， $B$ 之间的距离	$5.4 m$	$5.6 m$

(1)、两次测量，

A

，

B

之间的距离的平均值是______

m

；

(2)、根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆

G H

的高度；

（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ．）

(3)、该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？（写出一条理由即可）

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E在 $A B$ 边上，点F在对角线 $D B$ 上，连接 $D E ， A F$ 交于点O，且 $∠ A D E = ∠ B A F$ ．

(1)、求证： $A F ⊥ D E$ ；

(2)、判断 $△ A O E$ 与 $△ A E D$ 是否相似，并说明理由；

(3)、若 $A D = 4$ ， $A B = 6$ ， $D F = 2 F B$ ，求 $B E$ 的长．

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22. 如图 $1$ ， $△ A B C$ 中，点 $O$ 为 $A C$ 边上一点，以点 $O$ 为圆心， $O C$ 为半径作圆与 $A B$ 相切于点 $D$ ，连接 $C D$ ， $∠ A B C = 2 ∠ A C D$ ．

(1)、求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $2 \sqrt{3}$ ， $O A = 4 \sqrt{3}$ ，求 $B C$ ；

(3)、在（ $2$ ）的条件下，如图 $2$ ，点 $E$ 在 $\overset{⌢}{C D}$ 上，若 $C D = 6$ ，求 $∠ C E D$ 的度数．

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23. 设抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ， b，c是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5

(1)、①描点：请将表格中的 $(x, y)$ 描在图1中，
②连线：请用平滑的曲线在图1将上述点连接，并求出y与x的关系式；

(2)、如图2，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a {(x + h)}^{2} + k$ 的顶点为C，水平跨度为 $A B$ ，竖直跨度为 $C D$ ，经测量得 $A B = m$ ， $C D = n$ ，为了求出该抛物线的开口大小，现有如下两种方案，请你任选其中一种方案，并完善过程，
方案一：将二次函数 $y = a {(x + h)}^{2} + k$ 平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为 $y = a x^{2}$ ．
①此时点 $B^{'}$ 的坐标为______；
②将点 $B^{'}$ 坐标代入 $y = a x^{2}$ 中，解得 $a =$ ______；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为 $(- h, k)$
①此时点B的坐标为______；
②将点B坐标代入 $y = a {(x + h)}^{2} + k$ 中，解得 $a =$ ______；（用含m，n的式子表示）

(3)、【应用】如图3，已知平面直角坐标系 $x O y$ 中有A，B两点， $A B = 4$ ，且 $A B ∥ x$ 轴，二次函数 $C_{1}$ ： $y_{1} = 2 {(x - h)}^{2} + k$ 和 $C_{2}$ ： $y_{2} = a {(x - h)}^{2} + b$ 都经过A，B两点，且 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的顶点P，Q距线段 $A B$ 的距离之和为12，求a的值．

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x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	4.5	2	0.5	0	0.5	2	4.5